Definizione di poligono come insieme
Ciao a tutti, sto scrivendo la tesi (ingegneria) ed avrei la necessità di definire in modo rigoroso l'insieme dei punti di un poligono \(\displaystyle A' \) che inscrive un poligono \(\displaystyle A \) noto mantenendosi a distanza \(\displaystyle d \) dai suoi confini. Geometricamente intendo quanto raffigurato in figura
Il poligono \(\displaystyle A \) è quello in nero (ed è noto) mentre in blu è raffigurato il poligono \(\displaystyle A' \) che mi servirebbe descrivere. Avevo pensato di definirlo come
ma ho la netta sensazione che una definizione di questo tipo farebbe cavare gli occhi a molti matematici..per favore qualcuno può darmi una mano?
Il poligono \(\displaystyle A \) è quello in nero (ed è noto) mentre in blu è raffigurato il poligono \(\displaystyle A' \) che mi servirebbe descrivere. Avevo pensato di definirlo come
\(\displaystyle A' = \{ P' \in \mathbb{R}^2 \;|\; d(O,P') = d(O,P) + d(P,P') \;\; \forall P \in \partial A \} \)
ma ho la netta sensazione che una definizione di questo tipo farebbe cavare gli occhi a molti matematici..per favore qualcuno può darmi una mano?
Risposte
Quella definizione è assolutamente corretta, in quanto ottieni l'insieme \(\displaystyle\mathbb{R}^2\setminus\{\text{i punti interni al dato poligono}\}\)...
Per il tuo scopo, al posto di \(\displaystyle d(P,P^{\prime})\) dovresti mettere un numero reale positivo \(\displaystyle r\) fissato, così da "espandere" il poligono in esame.
Do per scontato che tu abbia dato una definizione consistente di poligono!
Per il tuo scopo, al posto di \(\displaystyle d(P,P^{\prime})\) dovresti mettere un numero reale positivo \(\displaystyle r\) fissato, così da "espandere" il poligono in esame.
Do per scontato che tu abbia dato una definizione consistente di poligono!
"j18eos":
Per il tuo scopo, al posto di \(\displaystyle d(P,P^{\prime})\) dovresti mettere un numero reale positivo \(\displaystyle r\) fissato, così da "espandere" il poligono in esame.
Grazie mille per la risposta, non pensavo di essere riuscito a far centro al primo tentativo
quindi la definizione completa dovrebbe essere\(\displaystyle A' = \{ P' \in \mathbb{R}^2 \;|\; d(O,P') = d(O,P) + r \;\;,\;\;\forall P \in \partial A ,\; r \in \mathbb{R}^+ \} \)
"j18eos":
Do per scontato che tu abbia dato una definizione consistente di poligono!
In realtà, nel contesto della tesi, il poligono \(\displaystyle A \) è un'area territoriale planare ricavata per ispezione visiva direttamente sul luogo. Praticamente prendendo il metro e misurando esce fuori la geometria da analizzare. Però effettivamente, per una trattazione scientifica del problema, sarebbe meglio dare una definizione rigorosa anche del poligono \(\displaystyle A \). In tal caso come converebbe procedere? Stavolta i punti non sono equidistanti da un riferimento (il centroide del poligono) quindi suppongo che \(\displaystyle r \) sia a sua volta una funzione.
Se tu inglobi la distanza di espansione \(\displaystyle r\) nell'insieme che vuoi definite, ottieni di nuovo il piano meno il poligono (mi scoccio di scrivere la stessa formula);
invece, io t'ho suggerito di fissare \(\displaystyle r\) e considerare l'insieme che avevi scritto con quel piccolo suggerimento.
Vabbè: ho cambiato idea e scrivo le formule...
\[
\{P^{\prime}\in\mathbb{R}^2\mid d(O,P^{\prime})=d(O,P)+r,\,\forall P \in\partial A,\,r\in\mathbb{R}_{>0}\}=\mathbb{R}^2\setminus\{\text{i punti interni al dato poligono}\},\\
r\in\mathbb{R}_{>0},\,A^{\prime}=\{P^{\prime}\in\mathbb{R}^2\mid d(O,P^{\prime})=d(O,P)+r,\,\forall P \in\partial A\}.
\]
invece, io t'ho suggerito di fissare \(\displaystyle r\) e considerare l'insieme che avevi scritto con quel piccolo suggerimento.
Vabbè: ho cambiato idea e scrivo le formule...
\[
\{P^{\prime}\in\mathbb{R}^2\mid d(O,P^{\prime})=d(O,P)+r,\,\forall P \in\partial A,\,r\in\mathbb{R}_{>0}\}=\mathbb{R}^2\setminus\{\text{i punti interni al dato poligono}\},\\
r\in\mathbb{R}_{>0},\,A^{\prime}=\{P^{\prime}\in\mathbb{R}^2\mid d(O,P^{\prime})=d(O,P)+r,\,\forall P \in\partial A\}.
\]
@Mario: chiamare con la stessa lettera \(d\) sia la funzione distanza sia il raggio di espansione del poligono è una idea molto bislacca.
Secondo me fai prima a considerare \(A\) come il poligono pieno. In questo modo, il tuo insieme espanso \(A_d\) è semplicemente
\[
A_d:=\{ \mathbf x \in \mathbb R^2\ |\ \mathrm{dist}(\mathbf x, A)\le d \}
\]
dove \(\mathrm{dist(\mathbf y, A)}\) indica la distanza del punto \(\mathbf y\) dall'insieme \(A\), ovvero, per definizione,
\[
\mathrm{dist(\mathbf y, A)}:=\min\{ |\mathbf y-\mathbf a|\ :\ \mathbf a\in A\}.\]
Secondo me fai prima a considerare \(A\) come il poligono pieno. In questo modo, il tuo insieme espanso \(A_d\) è semplicemente
\[
A_d:=\{ \mathbf x \in \mathbb R^2\ |\ \mathrm{dist}(\mathbf x, A)\le d \}
\]
dove \(\mathrm{dist(\mathbf y, A)}\) indica la distanza del punto \(\mathbf y\) dall'insieme \(A\), ovvero, per definizione,
\[
\mathrm{dist(\mathbf y, A)}:=\min\{ |\mathbf y-\mathbf a|\ :\ \mathbf a\in A\}.\]
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