Definizione di ortogonalità

[serio89]

Ho la seguente definizione, ma non saprei dire se è corretta:
"In uno spazio, i vettori $x$ ed $y$ sono ortogonali se $x$ è il punto della retta $x+ay$ più vicino a $0$ per ogni $a$."

[Summerwind78]

Magari dico una stupidaggine, ma non basta verificare che il loro prodotto scalare sia nullo?

[serio89]

In uno spazio euclideo sì, ma non mi sembra che valga in un generico spazio metrico.

[gugo82]

Per me \(x+ay\) è un vettore, non una retta... Quindi aspetto ulteriori chiarimenti.

[xdom="gugo82"]Ed intanto sposto in Geometria, che mi pare più appropriato.[/xdom]

[serio89]

Anche a me non torna, però negli appunti ho scritto proprio retta e, dalla lavagna, ho copiato $x+ay$ come retta (è senza freccia, mentre $x$ e $y$ ce l'hanno). Può anche darsi che abbia sbagliato il professore...

[digitex2001]

due vettori sono ortogonali se il prodotto scalare $ u*n=0 $
ad esempio $ U(2,3) n(3,-2) $ sono ortogonali..infatti
$ 2*3 + 3*(-2) =0 $
se parli di vettori l ortogonalità è esprimibile in questo modo...

[gugo82]

Credo sia da intendere così...

La retta \(r\) cui si riferiva il tuo docente è probabilmente quella per \(x\) avente come vettore direzionale \(y\), ossia quella di equazione parametrica \(\mathbb{R}\ni a\mapsto x+ay\in \mathbb{V}\).
Qui \(\mathbb{V}\) è il sostegno dello spazio metrico... Però deve essere anche dotato di una struttura vettoriale, altrimenti le somme ed i prodotti con gli scalari possiamo anche scordarceli!
Inoltre, la struttura metrica e quella vettoriale devono essere "compatibili", ossia le due funzioni somma \(+:\mathbb{V} \times \mathbb{V}\to \mathbb{V}\) ed il prodotto per lo scalare \( \cdot :\mathbb{R} \times \mathbb{V}\to \mathbb{V}\) devono essere continue rispetto alle topologia indotta dalla distanza \(d\) (cosa che accade sempre quando la distanza è indotta da un prodotto scalare, cioè nel caso in cui \(\mathbb{V}\) è euclideo). Spazi con strutture metriche e vettoriali che verificano tali condizioni di "compatibilità" si chiamano di solito spazi vettoriali metrici.

Ora, nel caso in cui \(\mathbb{V}\) è euclideo con prodotto scalare \(\langle \cdot, \cdot \rangle\), allora sussite l'equivalenza (facile da dimostrare):
\[ \tag{1} \langle x,y\rangle =0 \quad \Leftrightarrow \quad \text{dist} (o,r)=d(o,x)\; ,\]
ove \(o\) è il vettore nullo di \(\mathbb{V}\), \(d(o,x)\) è la distanza indotta dal prodotto scalare (cioè \(d(o,x)=\sqrt{\langle x-o,x-o\rangle}\)) e \(\text{dist} (o,r) := \inf_{z\in r} d(o,z)\) è la distanza di \(r\) dall'elemento nullo di \(\mathbb{V}\). N.B.: La proposizione a secondo membro della precedente equivalenza ti sta dicendo che \(x\) è il punto di minima distanza tra \(r\) ed il vettore nullo.

D'altra parte, quella a secondo membro di (1) è una condizione "puramente metrica" (infatti vi compare solo la distanza \(d\) e non il prodotto scalare \(\langle \cdot, \cdot \rangle\)) perciò essa è applicabile in uno spazio vettoriale metrico arbitrario (qui puoi leggere "arbitrario" come "non necessariamente euclideo") ed la si può considerare come una generalizzazione dell'ordinaria nozione di ortogonalità.

Ad ogni modo, queste sono solo mie considerazioni e ti chiedo di non prenderle per oro colato; anzi, per risolvere il problema, ti consiglio vivamente di andare a chiedere spiegazioni al tuo docente.

[serio89]

Credo che il ragionamento del mio prof. sia proprio questo, visto che giungi alla definizione che ho scritto all'inizio ("In uno spazio, i vettori $x$ ed $y$ sono ortogonali se $x$ è il punto della retta $x+ay$ più vicino a $0$ per ogni $a$."). Grazie!
Riguardo alla dimostrazione della $(1)$ hai un link? Quella mi manca e mi sembra utile.

[gugo82]

La dimostrazione non è difficile.

Innanzitutto notiamo che per ogni \(z=x+ay \in r\) si ha:
\[ \begin{split} d^2(o,z) &=\langle x+ay,x+ay\rangle \\ &= \langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle\ a+\langle y,y\rangle\ a^2 \; . \end{split}\]
\(\Rightarrow\)) Supponiamo \(\langle x,y\rangle =0\).
In tal caso si ha:
\[ \begin{split} \text{dist} (o,r) &:=\inf_{z\in r} d(o,z) \\ &= \inf_{a\in \mathbb{R}} \sqrt{\langle x,x\rangle +\langle y,y\rangle\ a^2} \\ &= \sqrt{\langle x,x\rangle} \\ &= d(o,x) \; .\end{split}\]

\(\Leftarrow\)) Viceversa, supponiamo ora che \(\text{dist} (o,r)=d(o,x)\).
Visto che la funzione distanza è positiva, l'essere \(d(o,x)=\inf_{z\in r} d(o,z)\) implica che si ha pure:
\[d^2(o,x)=\inf_{z\in r} d^2(o,z)\; ;\]
posto \(\phi(a):=d^2(o,x+ay)=\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle\ a+\langle y,y\rangle\ a^2\), quanto notato all'inizio implica che l'ultima relazione può scriversi equivalentemente come:
\[\phi (0)=\inf_{a\in \mathbb{R}} \phi (a) \; ; \]
ora, \(\phi(a)\) è un polinomio di secondo grado in \(a\) col parametro direttore \(\langle y,y\rangle >0\)*, ergo il suo grafico è una parabola convessa ed il minimo è raggiunto nel vertice, il quale per la precedente ha da avere l'ascissa nulla; ricordato che l'ascissa del vertice è uguale alla metà del coefficiente del termine di primo grado in \(\phi(a)\), si ha necessariamente \(\langle x,y\rangle =0\).

__________
* Se fosse \(\langle y,y\rangle =0\), cioè se avessimo\(y=o\), la tesi si potrebbe ottenere senza sforzo; pertanto ho ritenuto meglio lasciare questo caso da parte.

[serio89]

Grazie!