Definizione di operatore di proiezione
Salve a tutti, sto incontrando alcuni problemi nello studio degli operatori di proiezione.
Dato uno spazio di dimensione finita $n$, su cui definisco un prodotto scalare (come da convenzione in fisica richiedo che linearità nella seconda variabile e antilinearità nella prima).
Le dispense di Nino Zanghì affermano che se $u,v$ sono vettori allora definisco la proiezione di $v$ su $u$ come
$ \frac{\langle u,v \rangle}{||u||}$ e da qui posso definire l'operatore lineare di proiezione ortogonale $\mathcal{P}_u v = \langle \frac{u}{||u||},v \rangle \frac{u}{||u||} = \frac{\langle u,v\rangle}{||u||^2}$
Io non voglio peccare di superbia, ma nell'ultima uguaglianza non dovrebbe mancare un $u$ che moltiplica tutto quanto?
Cioè la proiezione, da come è definita mi restituisce un numero, un coefficiente $c$. Mentre l'operatore mi restituisce un vettore, ottenuto moltiplicando scalarmente tale coefficiente $c$ per $u/||u||$, ovvero il versore che mi individua il verso e la direzione del vettore su cui voglio proiettare? Tutto ciò che ho finora detto è corretto oppure no? Perché se così non fosse allora l'operatore come definito nell'ultima uguaglianza dovrebbe restituire anch'esso un coefficiente.
Adesso c'è il problema principale, non riesco a capire come arrivare al seguente risultato:
Sia ${e_1, ..., e_n}$ una base ortonormale (vettori unitari) di $mathcal{V}$. Allora ricordando la defizione di operatore di proiezione si ha che la condizione di ortonormalità è esprimibile come:
$\sum_{k=1}^{n}\mathcalP_{e_{k}} = \mathcal{I}$, ove $\mathcal{I}$ denota la matrice identità
Qualcuno potrebbe delucidarmi sui problemi sopra esposti. Le dispense non sono il massimo della chiarezza talvolta. Grazie in anticipo a chi risponderà
Dato uno spazio di dimensione finita $n$, su cui definisco un prodotto scalare (come da convenzione in fisica richiedo che linearità nella seconda variabile e antilinearità nella prima).
Le dispense di Nino Zanghì affermano che se $u,v$ sono vettori allora definisco la proiezione di $v$ su $u$ come
$ \frac{\langle u,v \rangle}{||u||}$ e da qui posso definire l'operatore lineare di proiezione ortogonale $\mathcal{P}_u v = \langle \frac{u}{||u||},v \rangle \frac{u}{||u||} = \frac{\langle u,v\rangle}{||u||^2}$
Io non voglio peccare di superbia, ma nell'ultima uguaglianza non dovrebbe mancare un $u$ che moltiplica tutto quanto?
Cioè la proiezione, da come è definita mi restituisce un numero, un coefficiente $c$. Mentre l'operatore mi restituisce un vettore, ottenuto moltiplicando scalarmente tale coefficiente $c$ per $u/||u||$, ovvero il versore che mi individua il verso e la direzione del vettore su cui voglio proiettare? Tutto ciò che ho finora detto è corretto oppure no? Perché se così non fosse allora l'operatore come definito nell'ultima uguaglianza dovrebbe restituire anch'esso un coefficiente.
Adesso c'è il problema principale, non riesco a capire come arrivare al seguente risultato:
Sia ${e_1, ..., e_n}$ una base ortonormale (vettori unitari) di $mathcal{V}$. Allora ricordando la defizione di operatore di proiezione si ha che la condizione di ortonormalità è esprimibile come:
$\sum_{k=1}^{n}\mathcalP_{e_{k}} = \mathcal{I}$, ove $\mathcal{I}$ denota la matrice identità
Qualcuno potrebbe delucidarmi sui problemi sopra esposti. Le dispense non sono il massimo della chiarezza talvolta. Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Si certo manca una \(u\). Non prendere delle dispense come fossero la Bibbia, spesso vengono scritte di fretta e contengono errori di battitura come questo. (Se vedessi certe cose che scrivo io... 
)
)
Grazie Dissonance, mentre il secondo risultato come si giustifica? Ho provato a farlo da solo ma niente, ho provato poi a vedere qualche cosa su internet ma non ho trovato un modo per provarlo
"SteezyMenchi":
Adesso c'è il problema principale, non riesco a capire come arrivare al seguente risultato:
Sia ${e_1, ..., e_n}$ una base ortonormale (vettori unitari) di $mathcal{V}$. Allora ricordando la defizione di operatore di proiezione si ha che la condizione di ortonormalità è esprimibile come:
$\sum_{k}^{n}\mathcalP_{e_{k}} = \mathcal{I}$, ove $\mathcal{I}$ denota la matrice identità
Qualcuno potrebbe delucidarmi sui problemi sopra esposti. Le dispense non sono il massimo della chiarezza talvolta. Grazie in anticipo a chi risponderà
Io direi che $\mathcal{I}$ denota l'applicazione identica (ma non ti preoccupare
).Prendiamo un vettore $v$ in $\mathbb{R}^n$. Allora $v=(v_1,...,v_n)$ che si esprime anche come
$v=\sum_{k=1}^nv_ke_k$.
Ma se fai il prodotto scalare con $e_i$ ottieni:
$
Dunque puoi riscrivere:
(*) $v=\sum_{k=1}^n
(dato che $\mathcal{P}_{e_k}(v)=
Siccome la (*) vale per ogni $v$ hai dimostrato che $\mathcal{I}=\sum_{k=1}^n\mathcal{P}_{e_k}$.
Noto ora un errore di indice nella tua formula.
Grazie Vicious, molto chiaro. Sì in effetti è più corretto parlare di operatore identità, la cui matrice associata è proprio la matrice identica. Riguardo all'indice sbagliato ho aggiunti $k=1$ nella sommatoria, ma non mi pare ci siano errori di indici oltre a questa piccolezza. In caso fammi sapere che correggo.
Comunque mentre ero per strada stavo ragionando sul significato di quella sommatoria, e (sì in effetti stavo andando a cervello spento stamattina), è come se prendessi un sistema di assi coordinato ($n$ in questo caso) e scomponessi il mio vettore lungo ogni asse e sommassi nuovamente tutte le componenti.
Comunque mentre ero per strada stavo ragionando sul significato di quella sommatoria, e (sì in effetti stavo andando a cervello spento stamattina), è come se prendessi un sistema di assi coordinato ($n$ in questo caso) e scomponessi il mio vettore lungo ogni asse e sommassi nuovamente tutte le componenti.
"SteezyMenchi":
Riguardo all'indice sbagliato ho aggiunti $k=1$ nella sommatoria, ma non mi pare ci siano errori di indici oltre a questa piccolezza. In caso fammi sapere che correggo.
Tranquillo era un'inezia, ma vedendola ho pensato fosse giusto segnalartela. Sai quanti ne faccio io di errori del genere...
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