Definizione di matrice simile.
Buongiorno,
per quale motivo definiamo due matrici $A$ e $B$ simili se esiste una matrice invertibile S t.c. $B=S^(-1)AS$?
Sulle mie dispense c'è una digressione sulle matrici di rappresentazione del cambio di base, nella quale si arriva a dire che :
$vBuAuBv=(uBv)^(-1)AuBv$ (matrice di rappresentazione di $f$ nella base $V$, con $v$ scrittura di un vettore $x$ in una base $V$) senza molte spiegazioni (per usare un eufemismo) e a "giustificare" tale definizione.. Ho cercato in rete e ci sono spiegazioni con cose non fatte nel mio corso (endomorfismi)..
Non ho proprio voglia di imparare le cose a memoria, qualcuno potrebbe aiutarmi?
per quale motivo definiamo due matrici $A$ e $B$ simili se esiste una matrice invertibile S t.c. $B=S^(-1)AS$?
Sulle mie dispense c'è una digressione sulle matrici di rappresentazione del cambio di base, nella quale si arriva a dire che :
$vBuAuBv=(uBv)^(-1)AuBv$ (matrice di rappresentazione di $f$ nella base $V$, con $v$ scrittura di un vettore $x$ in una base $V$) senza molte spiegazioni (per usare un eufemismo) e a "giustificare" tale definizione.. Ho cercato in rete e ci sono spiegazioni con cose non fatte nel mio corso (endomorfismi)..
Non ho proprio voglia di imparare le cose a memoria, qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
Supponiamo di avere una trasformazione lineare \(f \, \colon V \to V\) di uno spazio vettoriale \(V\) (di dimensione \(n\)).
Osserviamo i seguenti fatti filosofici semplici:
1. Una base di \(V\) è un isomorfismo \(P \, \colon \, \mathbb{R}^n \to V\)
2. Una matrice quadrata \(A \in \mathbb{R}^{n \, \times \, n}\) è un'applicazione lineare \(A \, \colon \, \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\)
Contemplando il diagramma \[\mathbb{R}^n \xrightarrow{P} V \xrightarrow{f} V \xrightarrow{P^{-1}} \mathbb{R}^n\]possiamo enunciare lo slogan:
Fissando una base di \(V\) [cioè \(P\)], possiamo rappresentare \(f\) tramite una matrice [tale matrice è \(M_P(f) = P^{-1} \circ f \circ P\)]
Veniamo alle matrici simili: cosa accade se fissiamo un'altra base \(Q \, \colon \,\mathbb{R}^n \to V\)?
Necessariamente abbiamo che \(Q = P \circ S\) per qualche matrice invertibile \(S\) (basta prendere \(S = P^{-1} \circ Q\)): la matrice \(S\) è detta matrice del cambiamento di base. Osserviamo adesso che \[M_Q(f) = Q^{-1} \circ f \circ Q = S^{-1} \circ P^{-1} \circ f \circ P \circ S = S^{-1}\, M_P(f) \, S\]cioè le matrici \(M_P(f)\) e \(M_Q(f)\) sono simili.
In conclusione: due matrici (quadrate) \(A\) e \(B\) sono simili se e solo se rappresentano una stessa trasformazione lineare \(f \, \colon \, V \to V\) rispetto a due basi di \(V\).
Osserviamo i seguenti fatti filosofici semplici:
1. Una base di \(V\) è un isomorfismo \(P \, \colon \, \mathbb{R}^n \to V\)
2. Una matrice quadrata \(A \in \mathbb{R}^{n \, \times \, n}\) è un'applicazione lineare \(A \, \colon \, \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\)
Contemplando il diagramma \[\mathbb{R}^n \xrightarrow{P} V \xrightarrow{f} V \xrightarrow{P^{-1}} \mathbb{R}^n\]possiamo enunciare lo slogan:
Fissando una base di \(V\) [cioè \(P\)], possiamo rappresentare \(f\) tramite una matrice [tale matrice è \(M_P(f) = P^{-1} \circ f \circ P\)]
Veniamo alle matrici simili: cosa accade se fissiamo un'altra base \(Q \, \colon \,\mathbb{R}^n \to V\)?
Necessariamente abbiamo che \(Q = P \circ S\) per qualche matrice invertibile \(S\) (basta prendere \(S = P^{-1} \circ Q\)): la matrice \(S\) è detta matrice del cambiamento di base. Osserviamo adesso che \[M_Q(f) = Q^{-1} \circ f \circ Q = S^{-1} \circ P^{-1} \circ f \circ P \circ S = S^{-1}\, M_P(f) \, S\]cioè le matrici \(M_P(f)\) e \(M_Q(f)\) sono simili.
In conclusione: due matrici (quadrate) \(A\) e \(B\) sono simili se e solo se rappresentano una stessa trasformazione lineare \(f \, \colon \, V \to V\) rispetto a due basi di \(V\).
Non mi è chiaro perchè, se $uBv$ è la matrice che esprime il cambiamento di base da $v$ a $u$, allora $vBu=(uBv)^(-1)$.
Grazie.
Grazie.
Perche \((vBu)(uBv)=vBv =I\).
Ah giusto, grazie mille. Un altra cosa: quando voglio cambiare la mia base $u$ con la base canonica $e$, perchè la matrice di cambiamento di base è direttamente ottenuta disponendo i vettori della base $u$ in colonna? Ho verificato graficamente, ma una giustificazione rigorosa?
Quello è vero solo per la base canonica.
Comunque prova vedere cosa esce fuori dalla moltiplicazione matriciale \(\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).
Comunque prova vedere cosa esce fuori dalla moltiplicazione matriciale \(\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).
"vict85":
Quello è vero solo per la base canonica.
Comunque prova vedere cosa esce fuori dalla moltiplicazione matriciale \(\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).
Ottengo la rappresentazione del vettore $(1,0,0)$ rispetto alla base espressa dai coefficienti della matrice.
La risposta che cercavo era che trovavi la prima colonna. E così via per gli altri elementi della base.
Penso che il mio problema sia un po' più alla radice: coordinate e vettori.. Leggendo un bel po' di materiale online penso di aver capito meglio tutti gli argomenti precedenti e anche il cambiamento di base.. (ho sempre più l'impressione che in algebra lineare più vai avanti più capisci le cose indietro).
Comunque, quando ho una base canonica, mi basta disporli in colonna perchè le coordinate del vettore coincidono con il vettore stesso giusto?
Comunque, quando ho una base canonica, mi basta disporli in colonna perchè le coordinate del vettore coincidono con il vettore stesso giusto?
"momo1":
Penso che il mio problema sia un po' più alla radice: coordinate e vettori.. Leggendo un bel po' di materiale online penso di aver capito meglio tutti gli argomenti precedenti e anche il cambiamento di base.. (ho sempre più l'impressione che in algebra lineare più vai avanti più capisci le cose indietro).
Comunque, quando ho una base canonica, mi basta disporli in colonna perchè le coordinate del vettore coincidono con il vettore stesso giusto?
Scusate se insisto, ma rileggendo bene il mio libro di testo (Apostol) ho notato che non menziona le coordinate di un vettore.
Vi riportò la definizione di matrice:
La matrice che rappresenta la trasformazione lineare $T$ da $V$ rispetto a una base $(e^1,....e^n)$ a $W$ rispetto a una base $(w^1,....,w^n)$ è la matrice $mxxn$ le cui colonne consistono nelle componenti di $T(e^1),...,T(e^n)$ rispetto alla base di $W$.
E' corretto?
Devi capire che non esiste una unica teoria dell'algebra lineare ma esistono modi differenti per approcciare le stesse cose. Insomma i concetti sono gli stessi ma la presentazione e cosa implica cosa a volte può cambiare a seconda del libro. Quindi è normale che vi siano delle differenze terminologiche e ancora di più che un autore evidenzi qualche aspetto e qualcun altro ne evidenzi un altro. Insomma devi catturare il senso generale e, ai fini dell'esame, impararti il modo in cui il professore vuole che siano approcciate le cose.
"vict85":
Devi capire che non esiste una unica teoria dell'algebra lineare ma esistono modi differenti per approcciare le stesse cose. Insomma i concetti sono gli stessi ma la presentazione e cosa implica cosa a volte può cambiare a seconda del libro. Quindi è normale che vi siano delle differenze terminologiche e ancora di più che un autore evidenzi qualche aspetto e qualcun altro ne evidenzi un altro. Insomma devi catturare il senso generale e, ai fini dell'esame, impararti il modo in cui il professore vuole che siano approcciate le cose.
Il senso di un cambio di base, del perchè matrici simili rappresentano la stessa trasformazione e del perchè della definizione stessa mi è piuttosto chiaro adesso.
Solo che leggendo alcune dispense c'è scritto "il vettore ha una componente e le coordinate sono i coefficienti delle c.l rispetto alla base" mentre sul libro leggi la cosa apposta... uno che studia queste cose da un mese è lecito abbia un po' di confusione secondo me o no
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo