Definizione di funzione meromorfa
Sia [tex]X[/tex] una varietà complessa. Come definite una funzione meromorfa su (un aperto di) [tex]X[/tex]?
P.S. Ho postato in geometria perché parlo di varietà complesse. L'argomento, dovrebbe evolversi (se e quando succederà) in modo puramente geometrico. Dal mio punto di vista, al limite si potrebbe pensare di spostarlo in Algebra, ma comunque se preferite la sezione di Analisi spostatelo pure...
P.S. Ho postato in geometria perché parlo di varietà complesse. L'argomento, dovrebbe evolversi (se e quando succederà) in modo puramente geometrico. Dal mio punto di vista, al limite si potrebbe pensare di spostarlo in Algebra, ma comunque se preferite la sezione di Analisi spostatelo pure...
Risposte
Direi che una "funzione meromorfa su [tex]X[/tex]" è una funzione olomorfa [tex]f:X - A \to \mathbb{C}[/tex] dove [tex]A[/tex] è un sottospazio discreto di [tex]X[/tex] e i punti di [tex]A[/tex] sono poli per [tex]f[/tex].
Uhm, questo andrebbe se avessi chiesto che [tex]X[/tex] sia una superficie di Riemann. Ma non ho fatto assunzioni sulla dimensione di [tex]X[/tex], quindi la geometria dei luoghi degli zeri è più complessa...
"Martino":
Direi che una "funzione meromorfa su [tex]X[/tex]" è una funzione olomorfa [tex]f:X - A \to \mathbb{C}[/tex] dove [tex]A[/tex] è un sottospazio discreto di [tex]X[/tex] e i punti di [tex]A[/tex] sono poli per [tex]f[/tex].
E' esattamente la definizione che avevo in mente anche io, in perfetta analogia al caso classico $X = CC$ (ad esempio, così dice Rudin). Siccome temevo il trabocchetto e siccome di varietà complesse non me ne intendo proprio, mi sono astenuto dal rispondere....
A questo punto, mi chiedo: dove vogliamo arrivare?
"Paolo90":
A questo punto, mi chiedo: dove vogliamo arrivare?
La definizione che sono giunto a considerare io fa un uso piuttosto massiccio delle parole "fascio" e "fascificazione" e formalizza sostanzialmente l'idea di una cosa che è "localmente il quoziente di due funzioni olomorfe". Prima di proporre tutto il ragionamento, però, aspetterei ancora di vedere se qualcun altro si fa avanti, perché sono davvero interessato ad una formulazione "elementare" della questione.
Dal tuo input maurer mi vengono in mente le funzioni regolari (o qualcosa di simile) su una varietà algebrica affine!
Certo, è naturale, visto che le funzioni meromorfe sono, in un senso che preciserò molto meglio, il "fascio dei quozienti" del fascio delle funzioni regolari. Se entro stasera non ricevo una risposta elementare, faccio che proporre la mia.
Mi si è fatta un po di luce nel mio porto delle nebbie (=la mia memoria): invece delle funzioni regolari dovevo dire le funzioni razionali... solo che attualmente la geometria algebrica non è tra le mie priorià 
Comunque leggo con piacere.
Comunque leggo con piacere.
Ok, direi che è giunto il tempo. La mia idea è semplice. Consideriamo una varietà complessa [tex](X,\mathcal O_X)[/tex], dove [tex]\mathcal O_X[/tex] è il fascio strutturale, ossia il fascio dei germi delle funzioni olomorfe.
Ora sia [tex]\mathfrak B[/tex] la famiglia degli aperti connessi di [tex]X[/tex]; allora chiaramente [tex]\mathfrak B[/tex] è una base per la topologia di [tex]X[/tex]. Evidenzio due fatti:
[list=1]
[*:12prbl20] se [tex]U \in \mathfrak B[/tex] allora [tex]\mathcal O_X(U)[/tex] è un dominio di integrità;[/*:m:12prbl20]
[*:12prbl20] se [tex]V, U \in \mathfrak B[/tex] e [tex]V \subset U[/tex], allora il principio del prolungamento analitico assicura che la mappa di restrizione [tex]\mathcal O_X(U) \to \mathcal O_X(V)[/tex] sia iniettiva.[/*:m:12prbl20][/list:o:12prbl20]
Ora, per ogni [tex]U \in \mathfrak B[/tex] consideriamo [tex]\mathcal S(U) := \mathcal O_X(U) \setminus \{0\}[/tex]. Non è difficile controllare che le due condizioni 1. e 2. insieme garantiscono che in questo modo [tex]\mathcal S[/tex] sia un fascio su [tex]\mathfrak B[/tex]. Di conseguenza, la proprietà universale della localizzazione garantisce che l'assegnamento [tex]U \mapsto \mathcal S(U)^{-1} \mathcal O_X(U)[/tex] fornisce un prefascio su [tex]\mathfrak B[/tex]. Fascifichiamo questo fascio e poi utilizziamo l'equivalenza dei fasci su [tex]\mathfrak B[/tex] con quelli su [tex]X[/tex] per ottenere un unico fascio [tex]\mathfrak M := \mathcal S^{-1} \mathcal O_X[/tex] definito su tutto [tex]X[/tex].
Allora io chiamo per definizione [tex]\mathfrak M[/tex] il fascio delle funzioni meromorfe. Esplicitamente, se [tex]U[/tex] è un aperto qualsiasi, una funzione meromorfa su [tex]U[/tex] sarà allora il dato di un ricoprimento [tex]\{U_i\}_{i \in I}[/tex] di [tex]U[/tex] per mezzo di aperti connessi di [tex]X[/tex] e, per ogni [tex]i \in I[/tex], un elemento del campo delle frazioni di [tex]\mathcal O_X(U_i)[/tex], [tex]\frac{f_i}{g_i} \in \mathcal S(U)^{-1} \mathcal O_X(U_i)[/tex] in modo che su [tex]U_i \cap U_j[/tex] si abbia [tex]f_i g_j = f_j g_i[/tex].
Qualcuno potrebbe chiedersi: perché fare tutto il discorso iniziale, quando poi alla fine abbiamo questa semplice caratterizzazione finale? Infatti, alcuni testi fanno così. Sostanzialmente, perché così ho dimostrato che le funzioni meromorfe esistono. Inoltre, il punto è che secondo me si perde in chiarezza espositiva: la domanda spontanea è (come sempre): ma posso ricondurre le funzioni meromorfe ad oggetti noti? Senza l'uso della fascificazione, questa domanda mi sembra condannata a rimanere senza risposta. Io, per lo meno, ho avuto (molte) perplessità al riguardo della definizione di funzione meromorfa fin da subito; e se nel caso di funzioni su [tex]\mathbb C[/tex] avevo trovato una risposta completamente soddisfacente nel teorema di Mittag-Leffler, non appena facevo crescere la dimensione o mi mettevo a lavorare su superfici di Riemann compatte, le perplessità tendevano a riapparire. In effetti, quello che si fa è "aggiungere formalmente l'incollamento di funzioni razionali"; visto che questa tecnica è completamente formalizzata dall'idea di fascificazione, non vedo perché non usarla (a parte i soliti noiosissimi motivi didattici).
Le domande sono due: 1) che cosa ve ne pare? 2) Osservato che la stessa costruzione si applica ad ogni spazio anellato [tex](X, \mathcal O_X)[/tex] soddisfacente alle condizioni 1. e 2. di cui sopra, vi chiedo: avete un modo per generalizzare ulteriormente questa costruzione in modo sensato?
Ma questa non è geometria algebrica, è geometria complessa!
Sbaglio o ti interessi di fibrati lineari? Sono centrali in geometria complessa! XD
Ora sia [tex]\mathfrak B[/tex] la famiglia degli aperti connessi di [tex]X[/tex]; allora chiaramente [tex]\mathfrak B[/tex] è una base per la topologia di [tex]X[/tex]. Evidenzio due fatti:
[list=1]
[*:12prbl20] se [tex]U \in \mathfrak B[/tex] allora [tex]\mathcal O_X(U)[/tex] è un dominio di integrità;[/*:m:12prbl20]
[*:12prbl20] se [tex]V, U \in \mathfrak B[/tex] e [tex]V \subset U[/tex], allora il principio del prolungamento analitico assicura che la mappa di restrizione [tex]\mathcal O_X(U) \to \mathcal O_X(V)[/tex] sia iniettiva.[/*:m:12prbl20][/list:o:12prbl20]
Ora, per ogni [tex]U \in \mathfrak B[/tex] consideriamo [tex]\mathcal S(U) := \mathcal O_X(U) \setminus \{0\}[/tex]. Non è difficile controllare che le due condizioni 1. e 2. insieme garantiscono che in questo modo [tex]\mathcal S[/tex] sia un fascio su [tex]\mathfrak B[/tex]. Di conseguenza, la proprietà universale della localizzazione garantisce che l'assegnamento [tex]U \mapsto \mathcal S(U)^{-1} \mathcal O_X(U)[/tex] fornisce un prefascio su [tex]\mathfrak B[/tex]. Fascifichiamo questo fascio e poi utilizziamo l'equivalenza dei fasci su [tex]\mathfrak B[/tex] con quelli su [tex]X[/tex] per ottenere un unico fascio [tex]\mathfrak M := \mathcal S^{-1} \mathcal O_X[/tex] definito su tutto [tex]X[/tex].
Allora io chiamo per definizione [tex]\mathfrak M[/tex] il fascio delle funzioni meromorfe. Esplicitamente, se [tex]U[/tex] è un aperto qualsiasi, una funzione meromorfa su [tex]U[/tex] sarà allora il dato di un ricoprimento [tex]\{U_i\}_{i \in I}[/tex] di [tex]U[/tex] per mezzo di aperti connessi di [tex]X[/tex] e, per ogni [tex]i \in I[/tex], un elemento del campo delle frazioni di [tex]\mathcal O_X(U_i)[/tex], [tex]\frac{f_i}{g_i} \in \mathcal S(U)^{-1} \mathcal O_X(U_i)[/tex] in modo che su [tex]U_i \cap U_j[/tex] si abbia [tex]f_i g_j = f_j g_i[/tex].
Qualcuno potrebbe chiedersi: perché fare tutto il discorso iniziale, quando poi alla fine abbiamo questa semplice caratterizzazione finale? Infatti, alcuni testi fanno così. Sostanzialmente, perché così ho dimostrato che le funzioni meromorfe esistono. Inoltre, il punto è che secondo me si perde in chiarezza espositiva: la domanda spontanea è (come sempre): ma posso ricondurre le funzioni meromorfe ad oggetti noti? Senza l'uso della fascificazione, questa domanda mi sembra condannata a rimanere senza risposta. Io, per lo meno, ho avuto (molte) perplessità al riguardo della definizione di funzione meromorfa fin da subito; e se nel caso di funzioni su [tex]\mathbb C[/tex] avevo trovato una risposta completamente soddisfacente nel teorema di Mittag-Leffler, non appena facevo crescere la dimensione o mi mettevo a lavorare su superfici di Riemann compatte, le perplessità tendevano a riapparire. In effetti, quello che si fa è "aggiungere formalmente l'incollamento di funzioni razionali"; visto che questa tecnica è completamente formalizzata dall'idea di fascificazione, non vedo perché non usarla (a parte i soliti noiosissimi motivi didattici).
Le domande sono due: 1) che cosa ve ne pare? 2) Osservato che la stessa costruzione si applica ad ogni spazio anellato [tex](X, \mathcal O_X)[/tex] soddisfacente alle condizioni 1. e 2. di cui sopra, vi chiedo: avete un modo per generalizzare ulteriormente questa costruzione in modo sensato?
"j18eos":
solo che attualmente la geometria algebrica non è tra le mie priorià
Ma questa non è geometria algebrica, è geometria complessa!
Sbaglio o ti interessi di fibrati lineari? Sono centrali in geometria complessa! XD
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