Definizione di Connesso

[ProPatria]

Ciao ragazzi, il mio libro di topologia dice che:

Sia $X$ uno spazio topologico.
$X$ si dice sconnesso se contiene due aperti non vuoti e disgiunti, $U$ e $V$ , tali che
$X = U ⊔ V$.

Dove ⊔ rappresenta l'unione per insiemi disgiunti.
Inoltre aggiunge che questa definizione è equivalente se al posto di "aperti" metto "chiusi".

Ho un dubbio:

Considerate in $RR$ i due intervalli $(0,1)$ e $(1,2)$.

Secondo la definizione per aperti l'unione di questi due insiemi è sconnessa, infatti prendendo $U=(0,1)$ e $V=(1,2)$ ho due aperti non vuoti e disgiunti tali che $X = U ⊔ V$...
provate ora a trovare due chiusi che soddisfano questa proprietà!
Il massimo che posso trovare sono le chiusure dei due intervalli, cioè $[0,1]$ e $[1,2]$, ma questi due insiemi non sono disgiunti! Quindi come possono le due definizioni essere equivalenti?

Inoltre vorrei chiarire anche questo:
invece di richiedere che $X = U ⊔ V$, non basterebbe semplicemente $X sube U ⊔ V$??

Grazie mille

[Studente Anonimo]

"ProPatria":Quindi come possono le due definizioni essere equivalenti?

$U$ e $V$ sono chiusi in $X$ (con la topologia di sottospazio), non sono chiusi in $RR$. Questo significa che esistono chiusi $F$, $S$ di $RR$ (quali?) tali che $F nn X = U$ e $S nn X = V$.

invece di richiedere che $X = U ⊔ V$, non basterebbe semplicemente $X sube U ⊔ V$??

Non capisco la domanda, o meglio non capisco perché dici "semplicemente". La risposta alla domanda è sì, ma dire $X sube U uu V$ è equivalente a dire $X = U uu V$ perché l'inclusione $U uu V sube X$ è ovvia.

Inoltre occhio quando usi il simbolo $⊔$ perché significa una cosa ben precisa e devi sapere cosa stai volendo dire. In pratica, un'unione (usuale) di due insiemi o è disgiunta oppure non è disgiunta, fin qui non ci piove. D'altra parte quando si scrive $X ⊔ Y$ di solito si intende l'unione disgiunta "esterna" di $X$ e $Y$, cioè si fa l'unione considerando i due insiemi come disgiunti (anche se tecnicamente non lo sono). Vedi qui per la definizione precisa e maggiori dettagli.

Per questo motivo nel tuo caso è meglio usare il simbolo $uu$.

[ProPatria]

"Martino":Questo significa che esistono chiusi $F$, $S$ di $RR$ (quali?) tali che $F nn X = U$ e $S nn X = V$.

allora prendo le chiusure, $F=[0,1]$ e $S=[1,2]$, quindi praticamente non serve che U e V siano chiusi nella topologia di partenza, ma devono esserlo in quella indotta

"Martino":Non capisco la domanda, o meglio non capisco perché dici "semplicemente". La risposta alla domanda è sì, ma dire $ X sube U uu V $ è equivalente a dire $ X = U uu V $ perché l'inclusione $ U uu V sube X $ è ovvia.

Chiaro! mi sono confuso perchè non ho considerato $X$ come una topologia... praticamente se considero il sottoinsieme di una topologia per vedere se è connesso o meno devo considerare quel sottoinsieme e applicare la definizione con la topologia indotta, e non con quella di partenza.

"Martino":Inoltre occhio quando usi il simbolo $ ⊔ $ perché significa una cosa ben precisa e devi sapere cosa stai volendo dire. In pratica, un'unione (usuale) di due insiemi o è disgiunta oppure non è disgiunta, fin qui non ci piove. D'altra parte quando si scrive $ X ⊔ Y $ di solito si intende l'unione disgiunta "esterna" di $ X $ e $ Y $, cioè si fa l'unione considerando i due insiemi come disgiunti (anche se tecnicamente non lo sono). Vedi qui per la definizione precisa e maggiori dettagli.

Per questo motivo nel tuo caso è meglio usare il simbolo $ uu $.

Capisco... allora è il mio libro che provoca un po' di confusione perchè la definizione è scritta esattamente così, in ogni caso ho capito la differenza, praticamente è come unire due insiemi "con la ripetizione" degli elementi in comune.
Grazie mille Martino