Definizione di campo vettoriale
Ciao, amici! Speravo di arrivare ad una comprensione più profonda del concetto di campo vettoriale procedendo nel mio studio sul Sernesi, ma finora non sono molto sicuro di che cosa significhi la definizione secondo cui "un campo vettoriale (definito) su $S$", che è un sottoinsieme della varietà differenziabile $X$, "è il dato [grassetto mio] $\mathbf{V}$ di un vettore tangente \(\mathbf{V}(x)\in T_x(X)\) per ogni $x\in S$".
Che cos'è un dato?
Non sono sicuro che questo equivalga a dire che \(\mathbf{V}\) sia un'applicazione \(S\to T_x(X)\)...
Speravo di arrivare a farmi un'idea chiara della faccenda senza rompere le scatole qua, ma non è stato così...
\(\infty\) grazie a tutti!
Che cos'è un dato?
Non sono sicuro che questo equivalga a dire che \(\mathbf{V}\) sia un'applicazione \(S\to T_x(X)\)...
Speravo di arrivare a farmi un'idea chiara della faccenda senza rompere le scatole qua, ma non è stato così...
\(\infty\) grazie a tutti!
Risposte
Non si può parlare di applicazione $S->T_x(X)$ perché l'insieme di arrivo non è ben definito (varia con il punto $x$ del dominio).
Per definire le cose in modo più rigoroso attraverso un'applicazione da $S$ (o tutta $X$) in un insieme, in effetti c'è bisogno del concetto di fibrato tangente, che il Sernesi mi sembra definisca più avanti.
Sempre andando a memoria, visto che l'ho sfogliato di recente: non avendo ancora la struttura del fibrato $TX$, il Sernesi definisce la "differenziabilità" del campo di vettori non come una vera differenziabilità (dell'applicazione $S->TX$), ma in altro modo che non ricordo. Queste due nozioni dovrebbero essere equivalenti.
Per definire le cose in modo più rigoroso attraverso un'applicazione da $S$ (o tutta $X$) in un insieme, in effetti c'è bisogno del concetto di fibrato tangente, che il Sernesi mi sembra definisca più avanti.
Sempre andando a memoria, visto che l'ho sfogliato di recente: non avendo ancora la struttura del fibrato $TX$, il Sernesi definisce la "differenziabilità" del campo di vettori non come una vera differenziabilità (dell'applicazione $S->TX$), ma in altro modo che non ricordo. Queste due nozioni dovrebbero essere equivalenti.
Che scemo che sono, dovevo considerare il fibrato tangente, concetto che il Sernesi introduce comunque tre pagine dopo, e omettere la $x$ nella notazione, perché se $x_1\ne x_2$ si ha ovviamente che \(\mathbf{V}(x_1)\in T_{x_1}(X)\) e \(\mathbf{V}(x_2)\in T_{x_2}(X)\) con \(T_{x_1}(X)\ne T_{x_2}(X)\).
Quindi si può dire che il nostro campo vettoriale \(\mathbf{V}\) è un'applicazione \[S\to T(X)\]\[x\mapsto \mathbf{V}(x)\]giusto?
Quanto alla differenziabilità del campo vettoriale è definita, per ogni campo vettoriale definito su un aperto $A$, dalla differenziabilità, per ogni aperto $U\subset X$ tale che $U\cap A\ne\emptyset$ e per ogni funzione differenziabile $F:U\to\mathbb{R}$, della funzione \(\mathbf{V}F:U\cap A\to\mathbb{R}\), la quale è a sua volta definita ponendo, per ogni $x\in U\cap A$, \((\mathbf{V}F)(x)=\mathbf{V}(x)(F)\).
\(\infty\) grazie ancora, yellow!!!
Quindi si può dire che il nostro campo vettoriale \(\mathbf{V}\) è un'applicazione \[S\to T(X)\]\[x\mapsto \mathbf{V}(x)\]giusto?
Quanto alla differenziabilità del campo vettoriale è definita, per ogni campo vettoriale definito su un aperto $A$, dalla differenziabilità, per ogni aperto $U\subset X$ tale che $U\cap A\ne\emptyset$ e per ogni funzione differenziabile $F:U\to\mathbb{R}$, della funzione \(\mathbf{V}F:U\cap A\to\mathbb{R}\), la quale è a sua volta definita ponendo, per ogni $x\in U\cap A$, \((\mathbf{V}F)(x)=\mathbf{V}(x)(F)\).
\(\infty\) grazie ancora, yellow!!!
In genere all'inizio si dice che un campo vettoriale su un aperto $S$ di una varietà $X$ (ma forse neanche serve che $S$ sia aperto) è una funzione
\[ v: S \to \coprod_{x \in S} T_xX,\]
dove $\coprod $ indica l'unione disgiunta, con la proprietà che $v(x) \in T_xX$ e che sia compatibile con i cambi di carte.
Con questa definizione di campo vettoriale, puoi definire il fibrato tangente, dando a quell'unione disgiunta (che fino a ora è solo un insieme fatto di un sacco di piani tangenti staccati tra loro) la struttura di varietà differenziabile.
edit: perché in displaystyle prende il comando \coprod e in textstyle no?
\[ v: S \to \coprod_{x \in S} T_xX,\]
dove $\coprod $ indica l'unione disgiunta, con la proprietà che $v(x) \in T_xX$ e che sia compatibile con i cambi di carte.
Con questa definizione di campo vettoriale, puoi definire il fibrato tangente, dando a quell'unione disgiunta (che fino a ora è solo un insieme fatto di un sacco di piani tangenti staccati tra loro) la struttura di varietà differenziabile.
edit: perché in displaystyle prende il comando \coprod e in textstyle no?
\(\infty\) grazie a tutti, ragazzi!
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