Definizione di Azione di gruppo propriamente discontnua

[stelladinatale1]

Salve a tutti ho dei dubbi sulla definizione di azione propriamente discontinua, perchè ho trovato due definizioni che a me sembrano diverse.

Prima definizione:
Sia $G$ un gruppo discreto (quindi un gruppo numerabile con la topologia discreta).
Si dice che $G$ agisce in modo propriamente discontinuo sulla varietà differenziabile $M'$ se
1) l'azione è $C^{\infty}$
2) $\forall x\in M'\quad \exists U$ intorno di $x$ tale che l'insieme $\{h\in G :hU\capU\ne\emptyset\}$ è un insime finito
3)$\forall x,y\in M'$ non nella stessa orbita $exists U$ intorno di $x$ e $V$ intorno di $y$ tali che $U\caphV=\emptyset$ per ogni $h\inG$

Seconda definizione:
Sia $G$ un gruppo discreto .
Si dice che $G$ agisce in modo propriamente discontinuo sulla varietà differenziabile $M'$ se
1) l'azione è $C^{\infty}$
2') $\forall x\in M'\quad \exists U$ intorno di $x$ tale che $hU\capU=\emptyset \quad \forall h\ne e$ dove $e$ è l'elemento neutro del gruppo.
3)$\forall x,y\in M'$ non nella stessa orbita $exists U$ intorno di $x$ e $V$ intorno di $y$ tali che $U\caphV=\emptyset$ per ogni $h\inG$

A me la 2) e la 2') non sembrano per niente equivalenti.
Quale è la definizione giusta?

[miuemia]

per faf vedere l'equivalenza devi sfruttare il fatto che $M^{\prime}$ è localmente compatta.