Definizione derivata di Lie
Ciao, ho un problema con un concetto di questa definizione:
Sia X un campo vettoriale su M e $ϕ_t$ il suo flusso. Sia $Y$ un secondo campo vettoriale e $ϕ_t(Y )$ la curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso. La derivata di Lie del campo Y nella direzione X `e il campo
vettoriale su M dato da
$L_X Y (p) := − (d/(dt))_(|t=0)ϕ_t(Y )(p)$
Non capisco bene la definizione perché non riesco a capire cosa si intenda per curva di campi vettoriali. Se quello è il flusso, in sostanza $ϕ_t$ è la mia curva integrale e in quanto curva ha un dominio da dove pesco un punto p e mi permette di scrivere $ϕ_t(p)$
Ma se scrivo $ϕ_t(Y )$, essendo Y un campo vettoriale non dovrebbe stare nell'insieme dei campi vettoriali sulla varietà M: $X (M )$? Quindi non capisco cosa mi stia a significafre quella $ϕ_t(Y )$. Vi chiedo un aiuto.
Sia X un campo vettoriale su M e $ϕ_t$ il suo flusso. Sia $Y$ un secondo campo vettoriale e $ϕ_t(Y )$ la curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso. La derivata di Lie del campo Y nella direzione X `e il campo
vettoriale su M dato da
$L_X Y (p) := − (d/(dt))_(|t=0)ϕ_t(Y )(p)$
Non capisco bene la definizione perché non riesco a capire cosa si intenda per curva di campi vettoriali. Se quello è il flusso, in sostanza $ϕ_t$ è la mia curva integrale e in quanto curva ha un dominio da dove pesco un punto p e mi permette di scrivere $ϕ_t(p)$
Ma se scrivo $ϕ_t(Y )$, essendo Y un campo vettoriale non dovrebbe stare nell'insieme dei campi vettoriali sulla varietà M: $X (M )$? Quindi non capisco cosa mi stia a significafre quella $ϕ_t(Y )$. Vi chiedo un aiuto.
Risposte
Non credo sia quella la definizione di \(\phi_t(Y)\). Molto più probabilmente, quando scrivi \(p(t)=\phi_t(Y)(p_0)\) intendi che \(p=p(t)\) è una curva, soluzione del problema di Cauchy \[\dot p= Y_p,\ p(0)=p_0\]
Mi sa che non ho ben capito la tua spiegazione devi perdonarmi.
il prof scrive "Sia Y un secondo campo vettoriale e $ϕ_t(Y)$ la curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso".
Tu stai dicendo che p(t) è soluzione del probelma di C. che hai indicato e va bene.
ma non capisco comunque $ϕ_t(Y)(p_0)$ cosa sia per te. NOn ho proprio capito
il prof scrive "Sia Y un secondo campo vettoriale e $ϕ_t(Y)$ la curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso".
Tu stai dicendo che p(t) è soluzione del probelma di C. che hai indicato e va bene.
ma non capisco comunque $ϕ_t(Y)(p_0)$ cosa sia per te. NOn ho proprio capito
Non c'è un pullback? Mi sembra che è quello che non stai capendo. Dove stai studiando?
Stavo seguendo le 500 pagine di dispense del Prof. che è il suo libro embrionale che pubblicherà.
Sono in realtà ancora alla ricerca di un secondo testo di riferimento, ho il Do Carmo per la parte più intuitiva.
Sono in realtà ancora alla ricerca di un secondo testo di riferimento, ho il Do Carmo per la parte più intuitiva.
Uppozzo? 
Senti, non lo so, ma io questa cosa la studiai sul libro di Spivak, "A comprehensive introduction to differential geometry", primo volume. Lo trovi qui:
https://ia601401.us.archive.org/9/items ... org%29.pdf
Pagina 150.
https://ia601401.us.archive.org/9/items ... org%29.pdf
Pagina 150.
Certo mi bastava anche una fonte, perché per ora non riuscivo a districarmi. Lo guardo! 
Uh, mi sono dimenticato. Se \(f : M \to N\) è un morfismo di varietà, abbiamo \(f^\ast : C^\infty N \to C^\infty M\) definita da \(f^\ast (g) = g \circ f\).
Nel tuo caso, se \(X : M \to TM\) è una campo vettoriale sopra una varietà e \(\left\{ \phi_t \mid t \in J \right\}\) un flusso locale di \(X\), allora la definizione di derivata di Lie di un altro campo vettoriale \(Y : M \to TM\) rispetto a \(X\) è \(\mathcal L_X Y (p) = - \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \right)_{t=0} \phi^\ast_t (Y)(p) = - \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \right)_{t=0} (Y \circ \phi_t) (p)\). Quello che hai scritto tu, ma con \(\phi_t^\ast (Y)\) al posto di \(\phi_t (Y)\).
Se vuoi una dispensa, c'è questa: https://mate.unipv.it/~frediani/didatti ... tero-6.pdf.
Nel tuo caso, se \(X : M \to TM\) è una campo vettoriale sopra una varietà e \(\left\{ \phi_t \mid t \in J \right\}\) un flusso locale di \(X\), allora la definizione di derivata di Lie di un altro campo vettoriale \(Y : M \to TM\) rispetto a \(X\) è \(\mathcal L_X Y (p) = - \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \right)_{t=0} \phi^\ast_t (Y)(p) = - \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \right)_{t=0} (Y \circ \phi_t) (p)\). Quello che hai scritto tu, ma con \(\phi_t^\ast (Y)\) al posto di \(\phi_t (Y)\).
Se vuoi una dispensa, c'è questa: https://mate.unipv.it/~frediani/didatti ... tero-6.pdf.
@Indrjo Dedej: grazie per la risposta e il link, mi inizierò a guardare entrambi passo passo finché arriverò alla derivata di L.
Quindi a complicare le cose c'era quell'errore tipografico, confermo non mio ma del prof che segnalerò appena sarò sicuro di aver capito bene.
Diciamo che però io mi blocco prima sul concetto di
Quindi a complicare le cose c'era quell'errore tipografico, confermo non mio ma del prof che segnalerò appena sarò sicuro di aver capito bene.
Diciamo che però io mi blocco prima sul concetto di
"papàcastoro":anche perendeo il pullback prima devo capire $ϕ_t(Y )$ che sinceramente mi sfugge proprio come idea: il prof parla di curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso. ma io non mi trovo proprio come senso e non ne parla mai prima, le curve le conosco solo come le ho ditate nel quote qui.
Non capisco bene la definizione perché non riesco a capire cosa si intenda per curva di campi vettoriali. Se quello è il flusso, in sostanza $ϕ_t$ è la mia curva integrale e in quanto curva ha un dominio da dove pesco un punto p e mi permette di scrivere $ϕ_t(p)$
Ma se scrivo $ϕ_t(Y )$, essendo Y un campo vettoriale non dovrebbe stare nell'insieme dei campi vettoriali sulla varietà M: $X (M )$? Quindi non capisco cosa mi stia a significafre quella $ϕ_t(Y )$. Vi chiedo un aiuto.
Forse con curva di campi vettoriali intende la funzione \(t \mapsto \phi_t^\ast Y\). Prova a tener fermo \(p\): cos'è la mappa \(t \mapsto Y(\phi_t(p))\)?
Risponderei che se $ϕ_t$ è la mia curva, allora la mappa che a t associa il campo vettoriale che "mangia" la curva passante per p fisso è una mappa che a ogni valore del parametro t mi dà i vettori tangenti velocità nei vari punti della curva.
Se corretto però ho gli ingranaggi della testa bloccati su come arrivare a \(t \mapsto \phi_t^\ast Y\) da questa considerazione.
Se corretto però ho gli ingranaggi della testa bloccati su come arrivare a \(t \mapsto \phi_t^\ast Y\) da questa considerazione.
E hai ragione, infatti ho sbagliato io a dire il pullback. (Va bene per i campi scalari, ma non è quella cosa in generale.) Poi, se provi su un esempio semplice non ha proprio senso. Usa la definizione di pullback che sai, perché comunque la derivata di Lie usa il pullback di \(\phi_t\) come sopra. Spiace averti confuso.
Figurati, mi hai fatto ragionare! Non è mai tempo perso
Grazie per il link.
Grazie per il link.
Ciao, scusa il ritardo nella risposta. Penso di star seguendo il corso di istituzioni di Geometria con Martelli insieme a te; ho capito bene? Ad ogni modo non è importante, quello che conta è che con curva di campi vettoriali intende solo che lungo quella curva identifica tutti i tangenti lungo la curva con $T_pM$ usando la mappa $d(\phi_t)_p:T_pM\rightarrow T_{\gamma(t)}M$. Questo lo fa perché almeno ha senso quella derivata. Per esempio, se il campo tensoriale che stai derivando è di tipo (1,1) in pratica in ogni punto $p$ hai una mappa lineare $s(p):T_pM\rightarrow T_pM$. Restringersi ad una curva e derivare rispetto a $t$ non ha senso perché in ogni punto la mappa è tra spazi vettoriali DIVERSI, non canonicamente identificati. Questa cosa del pullback lungo una curva è UN modo di identificare i tangenti lungo ogni linea integrale. Adesso puoi scriverti la tua matrice con entrate dipendenti da $t$ e adesso puoi derivare
Può essere un esercizio interessante capire perché ho detto MATRICE. Infatti si parla di matrice solo se siamo in $RR^n$, ma $T_pM$ non è canonicamente identificato con $RR^n$. Il punto è che puoi scegliere un isomorfismo con $RR^n$, leggere la mappa lineare in coordinate, derivare la matrice (e derivare ogni entrata) e poi riportare sù. Questa cosa non dipende (incredibilmente) dall'identificazione scelta
Se posso consigliare, per me un ottimo libro su cui studiare queste cose di geometria differenziale, è "Geometria differenziale" di Marco Abate (lo trovi su libgen/annasarchive et similia)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo