Definizione degli spazi affini
In Geometria 1 di Edoardo Sernesi, gli spazi affini vengono definiti pressappoco in questo modo:
Si dice che $A$ è uno spazio affine se, dato un K-spazio vettoriale $ V $, esiste un'applicazione $ f $ da $ A \times A $ in $ V $ che associa a ogni coppia $ (P,Q) $ di elementi di $ A $ un vettore $ f(P,Q) $ in modo che siano rispettati i seguenti assiomi:
1) Per ogni $ P \in A $ e $ v \in V $ esiste uno e un solo $ Q \in A $ tale che $ f(P,Q)=v $
2) Per ogni $ P,Q,S \in A $, $ f(P,Q)+f(Q,S)=f(P,S) $
Quello che ho capito di questa definizione è che si vuole generalizzare lo spazio ordinario (quello costruito sugli assiomi di Euclide/Hilbert) con l'uso degli spazi vettoriali. Infatti, poiché per la retta, il piano, e lo spazio ordinari si può definire una applicazione come $ f $, e questa rispetta le proprietà 1) e 2), allora diventano tutti casi particolari di spazi affini, di dimensioni rispettivamente 1, 2 e 3. Quello che non mi è molto chiaro è perché sono state scelte proprio quelle due proprietà per caratterizzare gli spazi affini. Mi rendo conto che nella geometria euclidea esse sono valide, ma perché sono state scelte quelle e non altre?
Si dice che $A$ è uno spazio affine se, dato un K-spazio vettoriale $ V $, esiste un'applicazione $ f $ da $ A \times A $ in $ V $ che associa a ogni coppia $ (P,Q) $ di elementi di $ A $ un vettore $ f(P,Q) $ in modo che siano rispettati i seguenti assiomi:
1) Per ogni $ P \in A $ e $ v \in V $ esiste uno e un solo $ Q \in A $ tale che $ f(P,Q)=v $
2) Per ogni $ P,Q,S \in A $, $ f(P,Q)+f(Q,S)=f(P,S) $
Quello che ho capito di questa definizione è che si vuole generalizzare lo spazio ordinario (quello costruito sugli assiomi di Euclide/Hilbert) con l'uso degli spazi vettoriali. Infatti, poiché per la retta, il piano, e lo spazio ordinari si può definire una applicazione come $ f $, e questa rispetta le proprietà 1) e 2), allora diventano tutti casi particolari di spazi affini, di dimensioni rispettivamente 1, 2 e 3. Quello che non mi è molto chiaro è perché sono state scelte proprio quelle due proprietà per caratterizzare gli spazi affini. Mi rendo conto che nella geometria euclidea esse sono valide, ma perché sono state scelte quelle e non altre?
Risposte
"siddy98":
In Geometria 1 di Edoardo Sernesi, gli spazi affini vengono definiti in questo modo: (...)
Trovo che la definizione di spazio affine che dà Sernesi sia una cosa atroce. L'intento sarebbe quello di semplificare la definizione non introducendo nel discorso il concetto di azione di un gruppo, ma così facendo la definizione perde tutta la sua naturalezza, e sebbene i concetti richiesti siano più elementari, la definizione risulta decisamente più arbitraria. In pratica, ricordando che uno spazio vettoriale \(V\) è in particolare un gruppo abeliano, uno spazio affine è un \(V\)-torsore.
La definizione canonica, meno immediata di quella di Sernesi, ma molto più chiara, sarebbe questa:
Uno spazio affine è costituito da un'insieme \(A\) assieme ad uno spazio vettoriale \(V\) (definito su un campo \(k\)) ed un'azione libera e transitiva di \(V\) su \(A\).
In sostanza: hai uno spazio vettoriale, hai un'insieme privo di struttura, fai agire "bene" uno spazio vettoriale su quell'insieme (se questo è possibile) ed ecco che quell'insieme diventa un bellissimo spazio affine i cui elementi risentono di tutta la geometria che si porta dietro uno spazio vettoriale. Le condizione di libertà e transitività ti garantiscono anche che se ti fermi su un punto fissato "non ti accorgi nemmeno di essere in uno spazio affine". Questo fa contenti i fisici e ingegneri, ché in uno spazio affine possono "decidere dove piazzare l'origine".
"siddy98":
Quello che non mi è molto chiaro è perché sono state scelte proprio quelle due proprietà per caratterizzare gli spazi affini.
In realtà non sono state scelte ad arbitrio, ma appunto sono una "maschera per matricole" che nasconde il fatto che \(V\) sta agendo opportunamente su \(A\). Lì la vera magia la sta facendo soltanto \(V\), il resto è il minimo indispensabile per tenere tutta l'impalcatura assieme. Questo tuttavia non risponde alla domanda, ma la cambia soltanto. La domanda diventa (dando per buono che le scelte più naturali siano il campo dei reali e lo spazio tridimensionale): perché per modellizzare la geometria euclidea è necessario far agire sull'insieme dei punti dello spazio proprio uno spazio vettoriale? Una risposta completa sfocia nel filosofico ed è fuori dalle mie possibilità, tanto più tenendo conto delle mie conoscenze storiche. Una risposta parziale è: gli assiomi di spazio vettoriale si sono rivelati "empiricamente" quelli che coglievano al meglio la struttura geometrica del modello euclideo. Ma siamo ai limiti della tautologia, e me ne scuso.
La tua risposta mi ha interessato molto, vorrei approfondire la questione dei gruppi. Dove posso studiare la geometria sotto quest'ottica?
Un ottimo testo è quello di Nacinovich (Elementi di Geometria Analitica), è un capolavoro, ma è un testo veramente tosto. Un altro testo molto bello (dall'impostazione piuttosto inusuale, ma molto più accessibile) può essere Geometry I di Berger, se puoi appoggiarti ad altro per studiare l'algebra lineare (per tale scopo il classico testo di Lang va benissimo).
"Epimenide93":
Un altro testo molto bello (dall'impostazione piuttosto inusuale, ma molto più accessibile) può essere Geometry I di Berger, se puoi appoggiarti ad altro per studiare l'algebra lineare (per tale scopo il classico testo di Lang va benissimo).
Quel libro di Berger è un testo scritto per questo http://fr.wikipedia.org/wiki/Agr%C3%A9gation_en_France insomma, per quello di matematica. Insomma è un secondo libro di geometria, forse persino un terzo.
Grazie, darò un'occhiata! A parte le nozioni sui gruppi e l'algebra lineare c'è qualcos'altro che dovrei sapere (magari anche sullo sviluppo storico)? Conta che alle spalle ho la geometria del liceo e l'algebra lineare (al livello del Lang), e penso che farò un'infarinatura sui gruppi.
vict85, per "secondo libro di geometria, forse persino un terzo" intendi dire che dovrebbe essere un approfondimento?
vict85, per "secondo libro di geometria, forse persino un terzo" intendi dire che dovrebbe essere un approfondimento?
Intendo dire che quel libro è stato scritto come appunti per un corso in cui gli studenti avevano una specialistica in matematica.
"vict85":
Quel libro di Berger è un testo scritto per questo http://fr.wikipedia.org/wiki/Agr%C3%A9gation_en_France insomma, per quello di matematica. Insomma è un secondo libro di geometria, forse persino un terzo.
Il primo volume è affrontabilissimo al livello di una triennale e l'autore stesso suggerisce che alcuni capitoli (per la precisione 8 e 9) possano essere usati per un "freshman-level course". Certamente avere un po' di maturità matematica può tornare utile, ma il Lang di algebra lineare come prerequisiti è già overkill. Il secondo volume è un'altro paio di maniche.
"siddy98":
A parte le nozioni sui gruppi e l'algebra lineare c'è qualcos'altro che dovrei sapere (magari anche sullo sviluppo storico)? Conta che alle spalle ho la geometria del liceo e l'algebra lineare (al livello del Lang), e penso che farò un'infarinatura sui gruppi.
Cosa studi? Comunque forse è meglio avere un po' più di un'infarinatura sui gruppi prima di studiare certe cose. Quel che si vede durante un corso di algebra del primo anno per il CdL in matematica dovrebbe essere sufficiente, per lo meno all'inizio. Ad ogni modo, il contenuto di questa pagina può aiutarti a capire meglio come viene inquadrata in un ottica moderna (una parte del)la geometria.
"Epimenide93":
Cosa studi?
Sono al liceo, devo iniziare il quarto anno. Mi interesso di questi argomenti per semplice curiosità, e anche perché dubito di poterli studiare in futuro all'università. Insomma non ho scadenze da rispettare o esami da dare, quindi posso permettermi una certa libertà nello studio.
"vict85":
Intendo dire che quel libro è stato scritto come appunti per un corso in cui gli studenti avevano una specialistica in matematica.
Beh avrei comunque continuato col Sernesi, dato che ormai l'ho comprato
. La cosa mi interessava soprattutto perché Epimenide93 sostiene che la definizione presentata lì è assai più naturale. Non che quella del Sernesi sia complicata o altro, semplicemente non riesco a "giustificarla". Se magari potessi farmi un po' di chiarezza te ne sarei molto grato! 
"siddy98":
Sono al liceo, devo iniziare il quarto anno. Mi interesso di questi argomenti per semplice curiosità
Questo cambia un po' di cose...
"siddy98":
La cosa mi interessava soprattutto perché Epimenide93 sostiene che la definizione presentata lì è assai più naturale. Non che quella del Sernesi sia complicata o altro, semplicemente non riesco a "giustificarla".
È indubbiamente più naturale postulando una certa familiarità coi concetti implicati. Non a caso quella di Sernesi l'ho definita "maschera per matricole". La definizione di Sernesi risulta estremamente arbitraria (aggettivo qui contrapposto a naturale) e sembra dar luce ad una struttura algebrica del tutto campata per aria, ma non risulta meno arbitraria della definizione del prodotto tra matrici che spesso viene data troppo tempo prima di poterne dare una giustificazione, per non parlare del determinante... Se è la prima volta che ti avvicini alla geometria senza avere alcun background algebrico forse conviene dare per buona la definizione di Sernesi, che richiede meno prerequisiti, ed andare avanti, se hai scelto di rinforzare le tue basi geometriche prima di quelle algebriche, sapendo che più avanti sarai in grado di giustificare debitamente la questione.
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