Definizione curva ellittica
Ciao!
Volevo sapere se tale definizione di curva ellittica fosse corretta oppure no
Sia $K$ un campo. Una curva ellittica $E$ su $K$ è una cubica non singolare definita nel piano proiettivo $P^2(K)$ dall'equazione della forma
$Y^2Z + a_1XYZ+a_3YZ^2=X^3+a_2X^2Y+a_4XZ^2+a_6Z^3$
Volevo sapere se tale definizione di curva ellittica fosse corretta oppure no
Sia $K$ un campo. Una curva ellittica $E$ su $K$ è una cubica non singolare definita nel piano proiettivo $P^2(K)$ dall'equazione della forma
$Y^2Z + a_1XYZ+a_3YZ^2=X^3+a_2X^2Y+a_4XZ^2+a_6Z^3$
Risposte
No, devi chiedere che la curva sia di genere \(\displaystyle1\) e fissare un punto su di essa! 
Dai @18jeos! 
Forse e' un po' imprecisa, ma puo' andare come definizone.
Infatti, una cubica liscia in $P_2$ ha sempre genere $1$ e quando si rappresenta
la curva tramite un'equazione del tipo
di solito e' sottointeso che il punto fissato e' l'unico punto all'infinito.
Viceversa, ogni curva di genere $1$ definita su $K$ con punto fissato $P$
definito su $K$ ammette un'immersione in $P_2$ di questo tipo.
@blabla probabilmente vuoi che i coefficienti $a_i$ appartengono al campo $K$.
E la notazione $P_2(K)$ e' un po' brutta, perche' spesso
significa "i punti di $P_2$ con coordinate in $K$". Ma non
sarebbe la definizione corretta.
Perche' se $K$ non e' algebricamente chiuso,
la curva non va identificata con i suoi punti $K$-razionali.
Invece, la curva ellittica e' il sottoschema chiuso
in $P_2$ determinato dall'equazione di Weierstrass.
Forse e' un po' imprecisa, ma puo' andare come definizone.Infatti, una cubica liscia in $P_2$ ha sempre genere $1$ e quando si rappresenta
la curva tramite un'equazione del tipo
$Y^2Z+a_1XYZ+a_3YZ^2=X^3+a_2X^2Y+a_4XZ^2+a_6Z^3$
di solito e' sottointeso che il punto fissato e' l'unico punto all'infinito.
Viceversa, ogni curva di genere $1$ definita su $K$ con punto fissato $P$
definito su $K$ ammette un'immersione in $P_2$ di questo tipo.
@blabla probabilmente vuoi che i coefficienti $a_i$ appartengono al campo $K$.
E la notazione $P_2(K)$ e' un po' brutta, perche' spesso
significa "i punti di $P_2$ con coordinate in $K$". Ma non
sarebbe la definizione corretta.
Perche' se $K$ non e' algebricamente chiuso,
la curva non va identificata con i suoi punti $K$-razionali.
Invece, la curva ellittica e' il sottoschema chiuso
in $P_2$ determinato dall'equazione di Weierstrass.
@Stickelberger Ma la formula che collega il genere di una curva la suo grado non è valida solo se il campo è algebricamente chiuso?
Pensavo che la solita dimostrazione funzioni su un qualsiasi campo ...
Vedi
http://math.stackexchange.com/questions ... racd-1d-22
Conosci qualche controesempio?
Vedi
http://math.stackexchange.com/questions ... racd-1d-22
Conosci qualche controesempio?
Premesso che non lavoro con le curve ellittiche, e che questa parte della geometria algebrica mi è ignota ( 
);
ho studiacchiato le curve piane proiettive su un campo algebricamente chiuso di caratteristica \(\displaystyle0\) (quasi sempre \(\displaystyle\mathbb{C}\)).
Ho controllato il thread su MSE: l'OP usa come riferimento il libro di Silverman - The Arithmetic Of Elliptic Curves, il quale asserisce che la formula che lega il grado di una curva piana al suo genere (formula di Plücker) è valida se la curva è considerata su un campo perfetto.
Ignoro se è valida ancòra più in generale...
);ho studiacchiato le curve piane proiettive su un campo algebricamente chiuso di caratteristica \(\displaystyle0\) (quasi sempre \(\displaystyle\mathbb{C}\)).
Ho controllato il thread su MSE: l'OP usa come riferimento il libro di Silverman - The Arithmetic Of Elliptic Curves, il quale asserisce che la formula che lega il grado di una curva piana al suo genere (formula di Plücker) è valida se la curva è considerata su un campo perfetto.
Ignoro se è valida ancòra più in generale...
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