Definizione 'anomala' di un sottospazio vettoriale
Salve, esercitandomi sul trovare basi per dei sottospazi vettoriali sono incappato in un esercizio con una dichiarazione di sottoinsieme di $RR^4$ anomala.
Si consideri il seguente sottoinsieme di $RR^4$:
$E={(r+s+ t, r - s, r, s, s - t) in RR^5 : r, s, t in RR}$
Ora ecco dov'è il mio problema, di solito mi ritrovo o con una matrice associata al sottospazio o con un sistema di eq cartesiane. Questi $r-s$ o $s-t$ non riesco a capire come farli diventare i vettori lin. indipendenti associati al sottospazio. Ragion per cui mi perdo in questa bolla di sapone senza saper individuare una base per la tipologia di esercizio sopra indicato.
Qualcuno m'illumina?
Si consideri il seguente sottoinsieme di $RR^4$:
$E={(r+s+ t, r - s, r, s, s - t) in RR^5 : r, s, t in RR}$
Ora ecco dov'è il mio problema, di solito mi ritrovo o con una matrice associata al sottospazio o con un sistema di eq cartesiane. Questi $r-s$ o $s-t$ non riesco a capire come farli diventare i vettori lin. indipendenti associati al sottospazio. Ragion per cui mi perdo in questa bolla di sapone senza saper individuare una base per la tipologia di esercizio sopra indicato.
Qualcuno m'illumina?
Risposte
Non sò se dico bene ma, dovresti porre una volta
$ r,s,t=(1,0,0) $ un'altra volta,
$ r,s,t=(0,1,0) $ e poi,
$ r,s,t=(0,0,1) $
Ottenendo così una cosa del tipo:
$ B={(1,1,1,0,0),(1,-1,0,1,1),(1,0,0,0,-1)} $
I vettori che ho calcolato, poichè lineramente indipendenti, dovrebbero formare una base del sottospazio E,
Dovrebbe essere una cosa di questo tipo, spera che qualcuno confermi ciò che ho detto
$ r,s,t=(1,0,0) $ un'altra volta,
$ r,s,t=(0,1,0) $ e poi,
$ r,s,t=(0,0,1) $
Ottenendo così una cosa del tipo:
$ B={(1,1,1,0,0),(1,-1,0,1,1),(1,0,0,0,-1)} $
I vettori che ho calcolato, poichè lineramente indipendenti, dovrebbero formare una base del sottospazio E,
Dovrebbe essere una cosa di questo tipo, spera che qualcuno confermi ciò che ho detto
Sicuramente quei vettori sono un sistema di generatori. (Perché? Mostrate per esercizio che ogni vettore di $E$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori di $B$). Ma non è detto che essi siano linearmente indipendenti. Questa è una cosa da verificare a parte.
Dal punto di vista operativo, basterebbe mettere in riga i vettori e controllare se compaiono 3 pivot, giusto?
Quello è un metodo, si. Sennò puoi vedere se c'è un minore di ordine 3 non nullo.
Perfetto, ho capito, quello che dici tu è legato al rango, ma forse intendevamo la stessa cosa(ammetto di averlo detto in modo poco formale).
Io comunque intendevo dire che se una volta messi in riga i vettori, e dopo aver eseguito l'eliminazione di gauss, il rg(A)=n, allora i vettori sono indipendenti, altrimenti no.
Io comunque intendevo dire che se una volta messi in riga i vettori, e dopo aver eseguito l'eliminazione di gauss, il rg(A)=n, allora i vettori sono indipendenti, altrimenti no.
Tieni presente che il "rango" di qualcosa (una matrice, un insieme di vettori, una applicazione lineare) è proprio il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che puoi pescarci dentro (nelle righe, nell'insieme, nell'immagine rispettivamente). Quindi dimostrare che un insieme di vettori è linearmente indipendente oppure dimostrare che esso ha rango massimo è esattamente la stessa cosa.
;9, Grazie per le tue risposte.
Per capirci, se oltre ad $r,s,t$ avessi avuto una quarta incognita che ne so $u$ avrei dovuto procedere in questo modo:
$r,s,t,u=(1,0,0,0)$
$r,s,t,u=(0,1,0,0)$
$r,s,t,u=(0,0,1,0)$
$r,s,t,u=(0,0,0,1)$
ottenendo una base con 4 vettori se anche i pivot ovviamente eran 4... ci siamo?
$r,s,t,u=(1,0,0,0)$
$r,s,t,u=(0,1,0,0)$
$r,s,t,u=(0,0,1,0)$
$r,s,t,u=(0,0,0,1)$
ottenendo una base con 4 vettori se anche i pivot ovviamente eran 4... ci siamo?
già.
Si, ma ripeto: non è detto che sia una base. Per esempio, prendi questo sottospazio di $RR^2$:
$Z={(u-v,2u-2v)\ |\ u, v \in RR}$.
Applichiamo il procedimento "0-1" di sopra e otteniamo il sistema di generatori
$ (1, 2), (-1, -2)$
che NON è una base: infatti i due vettori $(1, 2), (-1, -2)$ sono linearmente dipendenti. A questo punto si può applicare un algoritmo di eliminazione per ESTRARRE una base da questo sistema di generatori.
$Z={(u-v,2u-2v)\ |\ u, v \in RR}$.
Applichiamo il procedimento "0-1" di sopra e otteniamo il sistema di generatori
$ (1, 2), (-1, -2)$
che NON è una base: infatti i due vettori $(1, 2), (-1, -2)$ sono linearmente dipendenti. A questo punto si può applicare un algoritmo di eliminazione per ESTRARRE una base da questo sistema di generatori.
Sìsì di solito quando ho i vettori belli e pronti faccio una riduzione a scala. Il problema era che non avevo mai visto vettori in $RR^5$ indicati in quel modo ed ero rimasto spiazzato ^^
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