Definizione
Sono un po' confuso rispetto a una definizione che in apparenza mi sembra contraddittoria, probabilmente dovuto alla lingua francese.
Sia \(K \) un campo ("corps" in francese) e sia \( x \not\in K\), \( x \in R\supseteq X \), dove \( R \) è un dominio d'integrità (anneau intègre), \( x \) è chiamato un "indétermineé" (non trovo una traduzione italiana e non so cos'è),
se \( a_0 + a_1x + \ldots + a_n x^n = 0 \) allora \( a_i \in K \) implica \( a_i =0\), \(i=1,\ldots,n \)
Un polinomio è un espressione \(f(x)=a_0 + a_1x + \ldots \) definito da una successione \( (a_n)_{n\leq0} \) dove \( a_i \in K \), i cui termini sono tutti nulli tranne un numero finito.
Ora sebbene il professore di algebra io lo ritenga molto bravo, ogni tanto perde un po' il filo e fa alcuni errori. Può anche essere che sia io ad aver letto male la lavagna. Chissà magari è pure giusto, ma rileggendo proprio non capisco, prima di tutto cos'è \( X \) ?? Sapreste dirmi cosa vuol dire "indeterminee" ? Infine perché una riga sopra mi dice che se il coefficiente \( a_i \) appartiene al campo allora è nullo, e poi la riga sotto mi definisce un polinomio con coefficienti tutti nel campo ?
Sia \(K \) un campo ("corps" in francese) e sia \( x \not\in K\), \( x \in R\supseteq X \), dove \( R \) è un dominio d'integrità (anneau intègre), \( x \) è chiamato un "indétermineé" (non trovo una traduzione italiana e non so cos'è),
se \( a_0 + a_1x + \ldots + a_n x^n = 0 \) allora \( a_i \in K \) implica \( a_i =0\), \(i=1,\ldots,n \)
Un polinomio è un espressione \(f(x)=a_0 + a_1x + \ldots \) definito da una successione \( (a_n)_{n\leq0} \) dove \( a_i \in K \), i cui termini sono tutti nulli tranne un numero finito.
Ora sebbene il professore di algebra io lo ritenga molto bravo, ogni tanto perde un po' il filo e fa alcuni errori. Può anche essere che sia io ad aver letto male la lavagna. Chissà magari è pure giusto, ma rileggendo proprio non capisco, prima di tutto cos'è \( X \) ?? Sapreste dirmi cosa vuol dire "indeterminee" ? Infine perché una riga sopra mi dice che se il coefficiente \( a_i \) appartiene al campo allora è nullo, e poi la riga sotto mi definisce un polinomio con coefficienti tutti nel campo ?
Risposte
La $x$ la puoi chiamare variabile, indeterminata, incognita, o cose simili… Dopotutto, stai definendo i polinomi.
Il rigo che non cogli è il semplice fatto che un polinomio coincide col polinomio nullo se e solo se esso ha tutti i coefficienti nulli.
Una definizione più pulita di polinomio è questa: si chiama polinomio ogni successione definitivamente nulla di elementi di $mathbb(K)$.
Il rigo che non cogli è il semplice fatto che un polinomio coincide col polinomio nullo se e solo se esso ha tutti i coefficienti nulli.
Una definizione più pulita di polinomio è questa: si chiama polinomio ogni successione definitivamente nulla di elementi di $mathbb(K)$.
Ah ecco! Grazie mille 
Comunque la terminologia italiana segue molto quella francese, in queste cose algebriche. L'unica vera sostanziale differenza è il sostantivo "campo", i francesi preferiscono "corps". Ma ci sono anche italiani che parlano di corpi. Ah, poi i francesi amano dire "vecteurs libres", noi in genere parliamo di "vettori linearmente indipendenti".
Venendo nel merito della questione, ricordo bene che a me i polinomi sono stati introdotti con la definizione "à la MATLAB", quella citata da Gugo, e che ho faticato a comprenderla. Sul alcuni libri, come il Lang e l'Herstein, i polinomi nell'indeterminata \(x\) sono definiti come "combinazioni lineari formali di potenze di \(x\)", ed è una definizione che a suo tempo mi risultò più digeribile. Comunque, è sempre, esattamente, la stessa cosa.
Venendo nel merito della questione, ricordo bene che a me i polinomi sono stati introdotti con la definizione "à la MATLAB", quella citata da Gugo, e che ho faticato a comprenderla. Sul alcuni libri, come il Lang e l'Herstein, i polinomi nell'indeterminata \(x\) sono definiti come "combinazioni lineari formali di potenze di \(x\)", ed è una definizione che a suo tempo mi risultò più digeribile. Comunque, è sempre, esattamente, la stessa cosa.
Beh.. si più o meno la terminologia è la stessa, poi all'inizio gli chiamavo vettore proprio (vecteur propre), valore proprio e spazio proprio, solo dopo un po' mi sono reso conto si trattasse degli autovettori, autovalori e autospazi 
Per caso questa riga è un modo astruso per dire che dati due polinomi \( p(x) = b_0 + b_1 x + \ldots + b_m x^m \) e \( q(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k \), se \( p(x)=q(x) \Rightarrow p(x)-q(x) = (b_0-c_0) + (b_1-c_1) x + \ldots + (b_k-c_k) x^k + \ldots + b_m x^m = 0 \) e rinominando con \( a_i = b_i-c_i \) per tutti \( 0 \leq i \leq k \) e con \( a_j=b_j \) per tutti \( k < j \leq m \) allora implica che \( a_{\ell} = 0 \) per ogni \( \ell = 1,\ldots, m \) ??
"3m0o":
se \( a_0 + a_1x + \ldots + a_n x^n = 0 \) allora \( a_i \in K \) implica \( a_i =0 \), \( i=1,\ldots,n \)
Per caso questa riga è un modo astruso per dire che dati due polinomi \( p(x) = b_0 + b_1 x + \ldots + b_m x^m \) e \( q(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k \), se \( p(x)=q(x) \Rightarrow p(x)-q(x) = (b_0-c_0) + (b_1-c_1) x + \ldots + (b_k-c_k) x^k + \ldots + b_m x^m = 0 \) e rinominando con \( a_i = b_i-c_i \) per tutti \( 0 \leq i \leq k \) e con \( a_j=b_j \) per tutti \( k < j \leq m \) allora implica che \( a_{\ell} = 0 \) per ogni \( \ell = 1,\ldots, m \) ??
Esatto. Due polinomi sono uguali se e solo se tutti i coefficienti sono ordinatamente uguali. Si chiama "principio di identità dei polinomi", in italiano.
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