Definire positività forma bilineare al variare di parametro
Ciao a tutti,
ho un esercizio da proporvi, per il quale non sono pienamente convinto del procedimento che ho utilizzato per risolverlo. Se qualcuno potesse confermare o, eventualmente, confutare, gliene sarei molto grato.
Siano $alpha, beta$ appartenenti a $R$, e $b: R^2 X R^2 -> R$ una forma bilineare definita da:
$b(x,y)= 2x(1)y(1) + alpha x(1)y(2) + 4(beta - alpha)x(2)y(2)$; per ogni $x,y$ appartenenti a $R^2$
Il quesito chiede di determinare per quali $alpha, beta$ l'applicazione bilineare sia definita positiva.
Io sono a conoscenza che per avere una forma bilineare definita positiva, è necessario calcolare gli autovalori e controllare che siano tutti strettamente positivi. Oppure, una volta calcolata la matrice su un'eventuale base, per il criterio di Sylvester la matrice è definita positiva (dunque anche la forma bilineare associata?) se il determinante di tutti i minori principali sia strettamente positivo.
Ora, tramite la base canonica, si arriva alla seguente matrice rappresentativa di $b$:
$[ ( 2 , alpha ),( alpha , 4(beta-alpha) ) ] $
il polinomio caratteristico che ho calcolato risulta, già scomposto e riordinato:
$P(lambda)=lambda^2 -2lambda(1+2beta-2alpha) +8beta-8alpha-alpha^2$
In questo momento mi verrebbe in mente di applicare la regola di Cartesio, per la quale se i coefficienti della variabile di un polinomio riordinato in modo decrescente (o crescente) si alternano tra positivi e negativi (o viceversa), allora le radici del polinomio sono tutte positive.
Dunque il sistema che dovrei risolvere risulterebbe:
${ ( 1+2beta-2alpha>0 ),( -alpha^2 -8alpha+8beta>0 ):}$
D'altro canto, secondo il teorema di Sylvester, mi basterebbe valutare il determinante della matrice e porlo strettamente positivo. In questo caso la disequazione da risolvere sarebbe solamente:
$8beta-8alpha - alpha^2 >0$
E' corretto come ragionamento o sono proprio in alto mare?
Ringrazio già in anticipo se qualcuno si offre ad aiutarmi.
ho un esercizio da proporvi, per il quale non sono pienamente convinto del procedimento che ho utilizzato per risolverlo. Se qualcuno potesse confermare o, eventualmente, confutare, gliene sarei molto grato.
Siano $alpha, beta$ appartenenti a $R$, e $b: R^2 X R^2 -> R$ una forma bilineare definita da:
$b(x,y)= 2x(1)y(1) + alpha x(1)y(2) + 4(beta - alpha)x(2)y(2)$; per ogni $x,y$ appartenenti a $R^2$
Il quesito chiede di determinare per quali $alpha, beta$ l'applicazione bilineare sia definita positiva.
Io sono a conoscenza che per avere una forma bilineare definita positiva, è necessario calcolare gli autovalori e controllare che siano tutti strettamente positivi. Oppure, una volta calcolata la matrice su un'eventuale base, per il criterio di Sylvester la matrice è definita positiva (dunque anche la forma bilineare associata?) se il determinante di tutti i minori principali sia strettamente positivo.
Ora, tramite la base canonica, si arriva alla seguente matrice rappresentativa di $b$:
$[ ( 2 , alpha ),( alpha , 4(beta-alpha) ) ] $
il polinomio caratteristico che ho calcolato risulta, già scomposto e riordinato:
$P(lambda)=lambda^2 -2lambda(1+2beta-2alpha) +8beta-8alpha-alpha^2$
In questo momento mi verrebbe in mente di applicare la regola di Cartesio, per la quale se i coefficienti della variabile di un polinomio riordinato in modo decrescente (o crescente) si alternano tra positivi e negativi (o viceversa), allora le radici del polinomio sono tutte positive.
Dunque il sistema che dovrei risolvere risulterebbe:
${ ( 1+2beta-2alpha>0 ),( -alpha^2 -8alpha+8beta>0 ):}$
D'altro canto, secondo il teorema di Sylvester, mi basterebbe valutare il determinante della matrice e porlo strettamente positivo. In questo caso la disequazione da risolvere sarebbe solamente:
$8beta-8alpha - alpha^2 >0$
E' corretto come ragionamento o sono proprio in alto mare?
Ringrazio già in anticipo se qualcuno si offre ad aiutarmi.
Risposte
in realtà la matrice rappresentativa è:
$ ( ( 2 , alpha ),( 0 , 4(beta - alpha) ) ) $
il cui polinomio caratteristico è: $p(lambda)=(2-lambda)(4(beta-alpha)-lambda)$
da cui per la definita positività deve essere $4(beta-alpha) > 0 -> beta > alpha$
$ ( ( 2 , alpha ),( 0 , 4(beta - alpha) ) ) $
il cui polinomio caratteristico è: $p(lambda)=(2-lambda)(4(beta-alpha)-lambda)$
da cui per la definita positività deve essere $4(beta-alpha) > 0 -> beta > alpha$
Grazie mille.. Ci mancava solo l'errore di calcolo. Comunque, che tu sappia, porre il determinante della matrice strettamente maggiore di zero e trovare per quali valori succede, mi da lo stesso risultato? Per questo quesito i valori sono gli stessi, ma vale anche in generale per definire la positività della forma bilineare associata?
no non puoi (perchè si utilizzerebbero tutte questi teoremi se basta risolvere una disequazione? 
) scherzi a parte.....
prendi per esempio la matrice
$A:= ( ( -2 , 6 ),( 0 , -5 ) ) $ il suo determinante vale $10 > 0$ mentre puoi calcolati facilmente gli autovalori che sono $lambda_(1,2)=-2,-5$. la matrice è quindi definita negativa.
oppure pensa a quando studi i max/min in due variabili.. per determinare la loro natura non basta sapere il segno dell'hessiano ma devi sapere anche gli autovalori (o vedere il segno della derivata rispetto ad x (o y) due volte)
) scherzi a parte.....prendi per esempio la matrice
$A:= ( ( -2 , 6 ),( 0 , -5 ) ) $ il suo determinante vale $10 > 0$ mentre puoi calcolati facilmente gli autovalori che sono $lambda_(1,2)=-2,-5$. la matrice è quindi definita negativa.
oppure pensa a quando studi i max/min in due variabili.. per determinare la loro natura non basta sapere il segno dell'hessiano ma devi sapere anche gli autovalori (o vedere il segno della derivata rispetto ad x (o y) due volte)
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