Def: \(x_0\) punto di aderenza di \( A \subseteq \mathbb{R} \), intorno sferico, famiglia di intorni

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
potreste cortesemente fornirmi una definizione più precisa di punto di aderenza...!!!
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

(Ri)salve a tutti,
ho pensato di formalizzare in questo modo:

siano dati \( A \subseteq \mathbb{R} \) ed \(x_0 \in \mathbb{R} \), dicesi che \(x_0\) è di aderenza per \( A \) se \( \forall U \subseteq \mathbb{R} ( U \text{ è intorno di } x_0 \to U \cap A \neq \emptyset) \)

è corretto?

Cordiali saluti

P.S.=... aderenza è sinonimo di frontiera?

[4mrkv]

Va bene. In generale dato un sottoinsieme di uno spazio topologico \(A\subset X\) si dice che \(x\in X\) è di aderenza per \(A\) se ogni aperto \(O \in \tau_{X}\) che contiene \(x\) interseca \(A\). Gli intorni possono essere definiti direttamente come aperti oppure come insiemi generici che contengono un aperto che contiene il punto.

[garnak.olegovitc1]

@4mrkv,

"4mrkv":Va bene. In generale dato un sottoinsieme di uno spazio topologico \(A\subset X\) si dice che \(x\in X\) è di aderenza per \(A\) se ogni aperto \(O \in \tau_{X}\) che contiene \(x\) interseca \(A\). Gli intorni possono essere definiti direttamente come aperti oppure come insiemi generici che contengono un aperto che contiene il punto.

okok... thanks!! Mentre che ci siamo, come mi definiresti la famiglia degli intorni di \( x_0 \in \mathbb{R} \)...??

Saluti

[killing_buddha]

E' una collezione di sottoinsiemi di $X$ (il tuo spazio) contenenti \(x_0\) che soddisfa certe proprieta' (essere chiusa per intersezioni finite e per sovrainsiemi) che la rendono un filtro. Vedi pagina 3 qui per notare come dare una topologia equivale a dare in maniera intelligente i filtri di ogni punto dello spazio.

[garnak.olegovitc1]

@killing_buddha,

"killing_buddha":E' una collezione di sottoinsiemi di $X$ (il tuo spazio) contenenti \(x_0\) che soddisfa certe proprieta' (essere chiusa per intersezioni finite e per sovrainsiemi) che la rendono un filtro. Vedi pagina 3 qui per notare come dare una topologia equivale a dare in maniera intelligente i filtri di ogni punto dello spazio.

thanks...!!

[4mrkv]

"garnak.olegovitc":okok... thanks!! Mentre che ci siamo, come mi definiresti la famiglia degli intorni di \( x_0 \in \mathbb{R} \)...??

Saluti

Famiglia di intorni di \(x_{0}\) è un sinonimo di insieme di intorni del punto \(x_{0}\).

[garnak.olegovitc1]

scusatemi ma è la prima volta che affronto argomenti simili... vediamo se ho capito, cercando di inglobare con quanto detto dal mio docente:

dati un \( c \in \mathbb{R} \) e \( r \in \mathbb{N}^+ \), \( I(c,r):= \{x \in \mathbb{R} | |x-c| Ho pensato che, dato un \( x_0 \in \mathbb{R} \), la famiglia degli intorni di \(x_0 \), che il docente indica con la scrittura \( U(x_0) \), è l'insieme \( \{U \subseteq \mathbb{R} | U \text{ è intorno di } x_0 \} \)... giusto? Thanks in advance!!!

Saluti!!

[4mrkv]

Mi sembra corretto. Dati \(x_{0},r>0\) reali, le palle \(B(x_{0},r)=\{x\in \mathbb{R}:d(x_{0},x)

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[garnak.olegovitc1]

@4mrkv,
scusa avevo sbagliato a scrivere, doveva essere \( \mathbb{R}^+ \)...
Poi, ridefinisco un intorno di \(x_0 \) come un aperto in \( \mathbb{R} \) che contiene \( x_0 \)... concordi?
Saluti

[4mrkv]

Nel post precedente hai usato una definizione diversa. Se negli appunti che usi è definito come insieme qualsiasi che contiene un aperto che contiene il punto allora non cambiarla perché rischi di fare confusione. Se decidi di prendere il Munkres e studiare da li allora un intorno è un insieme aperto che contiene il punto.

[garnak.olegovitc1]

@4mrkv,

"4mrkv":Nel post precedente hai usato una definizione diversa. Se negli appunti che usi è definito come insieme qualsiasi che contiene un aperto che contiene il punto allora non cambiarla perché rischi di fare confusione. Se decidi di prendere il Munkres e studiare da li allora un intorno è un insieme aperto che contiene il punto.

mi trovavo male con la vecchia definizione... meglio questa! E' un buon testo il Munkres?!

[4mrkv]

Buono? E' ottimo.

[garnak.olegovitc1]

okok... mi hai convinto gli darò un'occhiata!!