Def. limitatezza in spazio lineare topologico

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin che un sottoinsieme $M$ di uno spazio lineare topologico $E$ sul campo $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ è detto limitato quando per ogni intorno dello $0$ esiste un $n>0$ tale che \(M\subset\lambda U\) per ogni \( |\lambda|\geq n \).
Altrove leggo una definizione per cui $M$ è limitato quando per ogni intorno dello $0$ esiste un $\lambda$, nel campo associato allo spazio, tale che \(M\subset\lambda U\).
Le definizioni si equivalgono?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[vict85]

Che rapporto c'è tra \(\lambda_1U\) e \(\lambda_2U\) per \(\lambda_1\neq\lambda_2\)?

[DavideGenova1]

Non ne ho idea. Se fosse che \(\lambda_1 U\subset \lambda_2 U\) per ogni \(\lambda_1,\lambda_2\) tali che \(|\lambda_1|\leq|\lambda_2|\) le definizioni sarebbero equivalenti, direi, ma non saprei come provarlo...
L'unica cosa che osservo è che, per la continuità della moltiplicazione $\mathbb{C}\times E\to E$ per uno scalare, chiamata \(\mathcal{N}(0)\) la famiglia di tutti gli intorni di $0$, si ha che \(\forall U\in\mathcal{N}(0)\quad\exists V\in\mathcal{N}(0)\exists\varepsilon>0:\forall\alpha\in B(0,\varepsilon)\quad\alpha V\subset U\), ma non mi sembra di ricavarne nulla...
$\infty$ grazie ancora!!!

P.S.: ho editato "sottoinsieme $E$" in "sottoinsieme $M$", che spero si sia capito che era quanto volevo dire...