Def. di sottobase di una topologia \(B \), dato uno spazio topologico \((A,B)\)
Salve a tutti,
studiando "tοπολογία" non riesco a capire il concetto di "sottobase" (o: prebase) di una topologia \(B \) dato uno spazio topologico \((A,B)\); in particolare la definizione di "base" di \(B \), davvero semplice, che uso è la seguente:
Saluti
P.S.=mi sembra di capire che una sottobase \(C \) è sempre un sottoinsieme di \(B\) ma è tale che ogni elemento \( x \in B \) è unione di intersezioni finite di elementi di \(C\)... a parole ci siamo, ma in formule non riesco a capire come scriverlo!
studiando "tοπολογία" non riesco a capire il concetto di "sottobase" (o: prebase) di una topologia \(B \) dato uno spazio topologico \((A,B)\); in particolare la definizione di "base" di \(B \), davvero semplice, che uso è la seguente:
Def.: siano dati \( (A,B)\) uno spazio topologico, ed \( C \subseteq B \), dicesi che \( C \) è base per \( B \) se $$\forall X \in B (\exists Y,Z \in C(X=(Y\cup Z))$$sono grato a chiunque voglia fornire una delucidazione/chiarimento sul concetto di sottobase!
Saluti
P.S.=mi sembra di capire che una sottobase \(C \) è sempre un sottoinsieme di \(B\) ma è tale che ogni elemento \( x \in B \) è unione di intersezioni finite di elementi di \(C\)... a parole ci siamo, ma in formule non riesco a capire come scriverlo!
Risposte
"garnak.olegovitc":
edit: ok, ho letto wiki e devo ammettere che la definizione che usa ha meno parole grosse, e se ho capito bene \(C \) è sottobase per \(B \) se \( (A,C) \) è spazio topologico?!
No, attento. Se \(C \) è una prebase per \(B \), \((A,B)\) è la topologia meno fine che rende gli insiemi in \(C\) aperti. Immagina di avere un insieme generico e di prendere una famiglia \(F\) di suoi sottoinsiemi, anche a caso, e dire «mi serve una topologia nella quale siano continui», allora prendi \(F\), la consideri una prebase, e quel che ti viene fuori contiene gli elementi di \(F\), e rispetta gli assiomi di una topologia, senza aggiungere aperti che non servano allo scopo di avere una topologia che contiene gli insiemi in \(F\).
Per il resto, non ho capito cosa chiedi.
@Epimenide93,
..!! Io ho pensato a questa in formule:
Saluti
"Epimenide93":M sono reso conto subito della fesseria detta/scritta...
No, attento. Se \(C \) è una prebase per \(B \), \((A,B)\) è la topologia meno fine che rende gli insiemi in \(C\) aperti. Immagina di avere un insieme generico e di prendere una famiglia \(F\) di suoi sottoinsiemi, anche a caso, e dire «mi serve una topologia nella quale siano continui», allora prendi \(F\), la consideri una prebase, e quel che ti viene fuori contiene gli elementi di \(F\), e rispetta gli assiomi di una topologia, senza aggiungere aperti che non servano allo scopo di avere una topologia che contiene gli insiemi in \(F\).
"Epimenide93":chiedo la definizione di sottobase e non a parole
Per il resto, non ho capito cosa chiedi.
..!! Io ho pensato a questa in formule: \( C\) è prebase per \( B \), dato \((A,B)\) spazio topologico, se $$\{X|\exists X_1,X_2,...,X_n \in C(X=\bigcap_{i=1}^n X_i)\} \text{ è base per } B$$scrivo/penso bene?
Saluti
"garnak.olegovitc":\( C\) è prebase per \( B \), dato \((A,B)\) spazio topologico, se $$\{X|\exists X_1,X_2,...,X_n \in C(X=\bigcap_{i=1}^n X_i)\} \text{ è base per } B$$scrivo/penso bene?
Direi proprio di sì.
@Epimenide, thanks a lot! 
@Epimenide,
[/nota] Magari mi dirai che \(\bigcap_{i=1}^n X_i=\bigcap\{X_1,X_2,...,X_n\}\) e solo che io vedo[nota]come ho imparato a lezione[/nota] \(\bigcap_{i=1}^n X_i:=X_1\cap X_2 \cap... \cap X_n\) ed è possibile questa intersezione, per me (e per il mio docente), solo se \(n\geq 2 \) (seguendo la definizione semplice di intersezione tra due insiemi), mentre non occorre se uso \(\bigcap\{X_1,X_2,...,X_n\}\) del caso \([2]\)..
Saluti
"garnak.olegovitc":scusa se risollevo la questione, ma, e vorrei un parere, avrei la stessa cosa (a livello concettuale) se scrivo $$\{X|\exists X_1,X_2,...,X_n \in C(X=\bigcap\{X_1,X_2,...,X_n\})\} \text{ è base per } B \quad \quad [2]$$ mi sono posto tale dubbio, e non vorrei pensare cavolate, perchè nel caso \( [1]\) di prima dovrei quantificare anche \(n \) ponendo \(n \geq 2 \) usando quella scrittura?![nota]spero solo di "entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem."\( C\) è prebase per \( B \), dato \((A,B)\) spazio topologico, se $$\{X|\exists X_1,X_2,...,X_n \in C(X=\bigcap_{i=1}^n X_i)\} \text{ è base per } B \quad \quad [1]$$scrivo/penso bene?
[/nota] Magari mi dirai che \(\bigcap_{i=1}^n X_i=\bigcap\{X_1,X_2,...,X_n\}\) e solo che io vedo[nota]come ho imparato a lezione[/nota] \(\bigcap_{i=1}^n X_i:=X_1\cap X_2 \cap... \cap X_n\) ed è possibile questa intersezione, per me (e per il mio docente), solo se \(n\geq 2 \) (seguendo la definizione semplice di intersezione tra due insiemi), mentre non occorre se uso \(\bigcap\{X_1,X_2,...,X_n\}\) del caso \([2]\)..Saluti
Sì, direi che se vuoi essere il più fiscale possibile la tua seconda definizione è migliore della prima, mentre se applichi la consueta convenzione (o trovi un modo per giustificarla formalmente) di considerare l'intersezione di un solo insieme come l'insieme stesso le due definizioni sono equivalenti, quindi direi che non ci sono particolari problemi in nessun caso.
"garnak.olegovitc":
@Epimenide, thanks a lot!
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