Deduzione di una quadrica dalla sua conica impropria

[KatieP]

Sia data una quadrica che contiene una retta di equazioni $x= 2$ e $y=2$ e ha la conica impropria di equazione $x^2 - 4y^2=0$ . Che tipo di quadrica può essere?
Io ho prima calcolato il punto improprio P della retta di coordinate (0, 0, 1, 0) e osservato che questo è il punto di intersezione delle due rette $(x+2y)*(x -2y)$ in cui si scompone la conica impropria. Quindi la quadrica potrebbe essere unione di due piani reali e distinti, un cilindro iperbolico oppure un paraboloide a punti iperbolici. È giusto?

In un esercizio simile mi si chiedeva invece, data la quadrica di conica impropria di equazione $x^2 - 4y^2 - 2xz + 2yz=0$, di dedurre di che quadrica si trattasse sapendo che contiene anche le rette r ed s, tali che r colleghi i punti (0,0,0,1) con (2, 0, 1, 0) e s colleghi i punti (1,1,0,1) e (0, 1, 2, 0) .
In questo caso prima ho osservato che le rette sono sghembe e i loro punti impropri appartengono anche alla conica. Quindi poiché il cono, possibile candidato per la forma della conica impropria, contiene solo rette che si intersecano nel vertice, ho concluso che si tratta di un iperboloide a punti iperbolici. Va bene come ragionamento?