Dedurre la forma canonica di una conica
salve a tutti,volevo chiedere questa cosa:
se ho una conica in $A^2$ del tipo $2X^2+4XY+5Y^2-12=0$ ho in questo caso un ellisse.
so che se voglio trovare la sua forma canonica un modo è quello di stabilire l'isometria diretta che la manda nella forma canonica(o equivalentemente fare un cambio di coordinate cartesiane per il centro e gli assi di simmetria),dopo di che calcolare attraverso la trasformazione la conica in forma canonica.
il fatto è che è un procedimento che costringe a fare molti conti,quindi volevo chiedere se si può trovare la forma canonica in un altro modo
ringrazio anticipatamente
se ho una conica in $A^2$ del tipo $2X^2+4XY+5Y^2-12=0$ ho in questo caso un ellisse.
so che se voglio trovare la sua forma canonica un modo è quello di stabilire l'isometria diretta che la manda nella forma canonica(o equivalentemente fare un cambio di coordinate cartesiane per il centro e gli assi di simmetria),dopo di che calcolare attraverso la trasformazione la conica in forma canonica.
il fatto è che è un procedimento che costringe a fare molti conti,quindi volevo chiedere se si può trovare la forma canonica in un altro modo
ringrazio anticipatamente
Risposte
puoi farlo con gli invarianti.
data una qualunque conica $\Gamma$ di equazione:
$\Gamma : a_11X^2+2a_12XY+a_22Y^2+2a_13X+2a_23Y+a_33=0$
puoi scrivere la seguente matrice simmetrica associata $A$ e la sottomatrice $Q$:
$A=[[a_11,a_12,a_13],[a_12,a_22,a_23],[a_13,a_23,a_33]]$ e $Q=[[a_11,a_12],[a_12,a_22]]$
dalle quali ricavi 3 invarianti $I_1$,$I_2$ e $I_3$:
$I_3=det(A)$
$I_2=det(Q)$
$I_1=trace(Q)=a_11+a_22$
si hanno 2 forme canoniche:
data una qualunque conica $\Gamma$ di equazione:
$\Gamma : a_11X^2+2a_12XY+a_22Y^2+2a_13X+2a_23Y+a_33=0$
puoi scrivere la seguente matrice simmetrica associata $A$ e la sottomatrice $Q$:
$A=[[a_11,a_12,a_13],[a_12,a_22,a_23],[a_13,a_23,a_33]]$ e $Q=[[a_11,a_12],[a_12,a_22]]$
dalle quali ricavi 3 invarianti $I_1$,$I_2$ e $I_3$:
$I_3=det(A)$
$I_2=det(Q)$
$I_1=trace(Q)=a_11+a_22$
si hanno 2 forme canoniche:
- $\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+\gamma=0$ per le coniche a centro (ellissi e iperboli)
$Y^2=2\deltaX$ per le parabole[/list:u:32vy2juq]
$\lambda_1$ e $\lambda_2$ sono i 2 autovalori della matrice $Q$
$\gamma=I_3/I_2$
$\delta=+-sqrt(-I_3/I_1^3)$