Decomposizione QR
Salve a tutti,
ho una domanda riguardo a un'estensione della decomposizione QR nota come Rank Revealing QR. Anche se presume che la mia domanda è più che altro legato all'algebra di base che sta dietro l'algoritmo piuttosto che l'algoritmo stesso.
RRQR ha la sequente forma:
$ AP=QR $
dove:
A è una matrice $ mxn, m\geq n $
P e una matrice di permutazione
La mia domanda è proprio riguardo questa matrice. Il documento che sto leggendo afferma quanto segue:
"La matrice riordinata A1=AP è una matrice in cui le più ortogonali colonne sono localizzate a sinistra. In altre parole, le prime \(\displaystyle r\) colonne definiscono un sottospazio lineare e le \(\displaystyle(r+1)\) colonne hanno il più grande valore di proiezione su questo sottospazio tra le restanti \(\displaystyle n-r\) situate alla destra della colonna \(\displaystyle r\)"
Cosa si intende per "più ortogonali colonne"? Ovvero, come capisco che una colonna è più ortogonale di un'altra? È qualcosa legato al condition number della matrice A?
Cosa si intende, in termini pratici, quando "\(\displaystyle(r+1)\) colonne hanno il più grande valore di proiezione su questo sottospazio tra le restanti \(\displaystyle n-r\) situate alla destra della colonna \(\displaystyle r\)"?
Grazie mille, Gabriele
ho una domanda riguardo a un'estensione della decomposizione QR nota come Rank Revealing QR. Anche se presume che la mia domanda è più che altro legato all'algebra di base che sta dietro l'algoritmo piuttosto che l'algoritmo stesso.
RRQR ha la sequente forma:
$ AP=QR $
dove:
A è una matrice $ mxn, m\geq n $
P e una matrice di permutazione
La mia domanda è proprio riguardo questa matrice. Il documento che sto leggendo afferma quanto segue:
"La matrice riordinata A1=AP è una matrice in cui le più ortogonali colonne sono localizzate a sinistra. In altre parole, le prime \(\displaystyle r\) colonne definiscono un sottospazio lineare e le \(\displaystyle(r+1)\) colonne hanno il più grande valore di proiezione su questo sottospazio tra le restanti \(\displaystyle n-r\) situate alla destra della colonna \(\displaystyle r\)"
Cosa si intende per "più ortogonali colonne"? Ovvero, come capisco che una colonna è più ortogonale di un'altra? È qualcosa legato al condition number della matrice A?
Cosa si intende, in termini pratici, quando "\(\displaystyle(r+1)\) colonne hanno il più grande valore di proiezione su questo sottospazio tra le restanti \(\displaystyle n-r\) situate alla destra della colonna \(\displaystyle r\)"?
Grazie mille, Gabriele
Risposte
Benvenuto;
se ci indichi la fonte bibliografica potremmo provare a decriptare quell'affermazione.
se ci indichi la fonte bibliografica potremmo provare a decriptare quell'affermazione.
Non ha molto senso. Sembra quasi uno scherzo. Puzza di traduzione automatica.
"j18eos":
Benvenuto;
se ci indichi la fonte bibliografica potremmo provare a decriptare quell'affermazione.
Grazie mille Armando per la risposta.
Ecco il link al paper:
https://www.researchgate.net/publicatio ... biosystems
La parte interessata si trova a pag 6, formula 28 (mi sembra che in questa formula ci sia anche un errore, penso che la versione corretta sia SP=QR piuttosto che PS=QR).
Rileggendola mi e' venuto un ulteriore dubbio, ha senso parlare di colonne più ortogonali di altre?
Grazie mille ancora, Gabri
"dissonance":
Non ha molto senso. Sembra quasi uno scherzo. Puzza di traduzione automatica.
Si, lo ho tradotto io da un paper in inglese (vedi precedente commento) e, in effetti, puo' risultare abbastanza macchinoso pero' la traduzione e' accurata.
Non ci vedo molto senso neanche io, pero' in effetti da un punto di vista pratico funziona.
Ho implementato quanto descritto in questo paper e il nuovo ordine delle colonne della matrice A ovvero A1 (ogni colonna corrisponde ad un parametro) e' conforme con quanto ho ottenuto utilizzando un altro procedimento. Ovvero questi parametri/colonne sono ordinati dal più identificabile a quello meno.
Se ho capìto bene: quelle colonne sono ortogonali tra loro, e generano il complemento ortogonale del sottospazio vettoriale generato dalle rimanenti colonne...
Dovrò spiegarmi meglio in un secondo post!?
Dovrò spiegarmi meglio in un secondo post!?
"j18eos":
Se ho capìto bene: quelle colonne sono ortogonali tra loro, e generano il complemento ortogonale del sottospazio vettoriale generato dalle rimanenti colonne...
Dovrò spiegarmi meglio in un secondo post!?
Ciao Armando,
se riuscissi a darmi più informazioni riguardo a cosa si intende per "complemento ortogonale del sottospazio vettoriale generato dalle rimanenti colonne" sarebbe davvero utile!
Inoltre, ha senso parlare di colonne più indipendenti di altre?
Grazie mille!
Il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale \(\displaystyle\mathbb{W}\subseteq\mathbb{E}\) è definito come:
\[
\mathbb{W}^{\perp}=\{\underline{v}\in\mathbb{E}\mid\forall\underline{w}\in\mathbb{W},\,\underline{v}\perp\underline{w}\}.
\]
Ovviamente (per me) \(\displaystyle\mathbb{E}\) è un qualsiasi spazio vettoriale euclideo; nel tuo caso puoi prendere \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con l'usuale prodotto scalare \(\displaystyle s\).
Sono stato più chiaro?
\[
\mathbb{W}^{\perp}=\{\underline{v}\in\mathbb{E}\mid\forall\underline{w}\in\mathbb{W},\,\underline{v}\perp\underline{w}\}.
\]
Ovviamente (per me) \(\displaystyle\mathbb{E}\) è un qualsiasi spazio vettoriale euclideo; nel tuo caso puoi prendere \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con l'usuale prodotto scalare \(\displaystyle s\).
Sono stato più chiaro?
"j18eos":
Il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale \(\displaystyle\mathbb{W}\subseteq\mathbb{E}\) è definito come:
\[
\mathbb{W}^{\perp}=\{\underline{v}\in\mathbb{E}\mid\forall\underline{w}\in\mathbb{W},\,\underline{v}\perp\underline{w}\}.
\]
Ovviamente (per me) \(\displaystyle\mathbb{E}\) è un qualsiasi spazio vettoriale euclideo; nel tuo caso puoi prendere \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con l'usuale prodotto scalare \(\displaystyle s\).
Sono stato più chiaro?
Chiarissimo! Grazie mille davvero!
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