Decomposizione Matrice in Due Matrici in Somma Diretta
1. In $ S(R^{3,3}) $ è dato il sottoinsieme:
$ A=((x_1,x_2,3),(x_2,x_4,x_5),(x_3,x_5,x_6))$ $ ∈S(R^{3,3}) $ | $ x_1+2x_4−x_6 =−x_2+2x_6 =x_3+3x_5 =0 } $,
verificare che $A$ è un sottospazio vettoriale di $ S(R^{3,3}) $ e calcolarne la dimensione e una base.
2. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale $H$ di $ S(R^{3,3}) $ supplementare di A .
3. Decomporre la matrice:
A'=$((0,1,2),(1,3,1),(2,1,5))$
nella somma di una matrice di A e di una matrice di H .
Il problema sorge nel punto 3. Allora per il primo punto ho semplicemente lavorato sul sistema :
$\{(x_1+2x_4−x_6=0),(−x_2+2x_6=0),(x_3+3x_5 =0):}$
ed essendo un sistema di 6 incognite con 3 equazioni, esistono infinite soluzioni che dipendono da tre parametri infatti la $ dim(A)=3$ ed $A$ è generato da $A= L $ $ ( $ $(1,2,0,0,0,1),(0,0,-3,0,1,0),(-2,0,0,1,0,0) $ $)$
Per il secondo punto, devo trovare un sottospazio vettoriale $H$ supplementare di A. Facilmente , so che $H$ è supplementare ad $A$ se sono in somma diretta quindi la somma delle loro dimensioni deve essere 6 cioè, $dim( S(R^{3,3}))=6$.
Per fare ciò, metto a matrice i tre vettori della base di $A$ e ne aggiungo altri tre che siano linearmente indipendenti dai vettori della base di A. Più precisamente, $((1,2,0,0,0,1),(0,0,-3,0,1,0),(-2,0,0,1,0,0), (0,1,0,0,0,0),(0,0,0,1,0,0), (0,0,0,0,0,1) )$ dove i primi tre vettori sono i vettori della base $A$ mentre gli altri li ho aggiunti in modo tale che siano linearmente indipendenti dai primi tre. Quindi la $ dim(H)=3$ ed la matrice $H$ è supplementare di $A$.
Arrivato a questo punto, sono al punto 3. Pensando a ciò che mi chiede la consegna mi viene in mente subito che essendo $H$ e $A$ in somma diretta io posso scrivere un certo vettore $X$ come combinazione lineare dei vettori delle due basi in modo unico, in formule $A'=((0,1,2),(1,3,1),(2,1,5))$=$\lambda A+ \mu H$ dove $\lambda $ e $\mu $ varieranno di numero con le componenti dei vettori delle basi.
Come procedereste con il 3 punto? è corretta la mia idea?
grazie mille
$ A=((x_1,x_2,3),(x_2,x_4,x_5),(x_3,x_5,x_6))$ $ ∈S(R^{3,3}) $ | $ x_1+2x_4−x_6 =−x_2+2x_6 =x_3+3x_5 =0 } $,
verificare che $A$ è un sottospazio vettoriale di $ S(R^{3,3}) $ e calcolarne la dimensione e una base.
2. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale $H$ di $ S(R^{3,3}) $ supplementare di A .
3. Decomporre la matrice:
A'=$((0,1,2),(1,3,1),(2,1,5))$
nella somma di una matrice di A e di una matrice di H .
Il problema sorge nel punto 3. Allora per il primo punto ho semplicemente lavorato sul sistema :
$\{(x_1+2x_4−x_6=0),(−x_2+2x_6=0),(x_3+3x_5 =0):}$
ed essendo un sistema di 6 incognite con 3 equazioni, esistono infinite soluzioni che dipendono da tre parametri infatti la $ dim(A)=3$ ed $A$ è generato da $A= L $ $ ( $ $(1,2,0,0,0,1),(0,0,-3,0,1,0),(-2,0,0,1,0,0) $ $)$
Per il secondo punto, devo trovare un sottospazio vettoriale $H$ supplementare di A. Facilmente , so che $H$ è supplementare ad $A$ se sono in somma diretta quindi la somma delle loro dimensioni deve essere 6 cioè, $dim( S(R^{3,3}))=6$.
Per fare ciò, metto a matrice i tre vettori della base di $A$ e ne aggiungo altri tre che siano linearmente indipendenti dai vettori della base di A. Più precisamente, $((1,2,0,0,0,1),(0,0,-3,0,1,0),(-2,0,0,1,0,0), (0,1,0,0,0,0),(0,0,0,1,0,0), (0,0,0,0,0,1) )$ dove i primi tre vettori sono i vettori della base $A$ mentre gli altri li ho aggiunti in modo tale che siano linearmente indipendenti dai primi tre. Quindi la $ dim(H)=3$ ed la matrice $H$ è supplementare di $A$.
Arrivato a questo punto, sono al punto 3. Pensando a ciò che mi chiede la consegna mi viene in mente subito che essendo $H$ e $A$ in somma diretta io posso scrivere un certo vettore $X$ come combinazione lineare dei vettori delle due basi in modo unico, in formule $A'=((0,1,2),(1,3,1),(2,1,5))$=$\lambda A+ \mu H$ dove $\lambda $ e $\mu $ varieranno di numero con le componenti dei vettori delle basi.
Come procedereste con il 3 punto? è corretta la mia idea?
grazie mille
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