Decomposizione LU
Buongiorno! Sto facendo un esercizio sulla decomposizione LU ma sono bloccato..in pratica ho questa matrice $ | ( alpha , 2alpha , -alpha , -alpha , alpha ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , alpha , alpha , 3+3alpha ) | $ con $ alpha in CC $ e devo calcolare la decomposizione LU e, per i valori di $ alpha $ per i quali non è possibile, una decomposizione PA = LU.
Facendo la decomposizione LU ho seguito questi passi:
-PASSO 1
$ E_11(alpha^-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , alpha , alpha , 3+3alpha ) | $
-PASSO 2
$ E_21(-1)E_31(-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 , 2 , 4 ),( 0 , 0 , alpha+1 , alpha+1 , 2+3alpha ) | $
-PASSO 3
$ E_22(1/2) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , alpha+1 , alpha+1 , 2+3alpha ) | $
-PASSO 4
$ E_32(-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , alpha , alpha , 3alpha ) | $
-PASSO 4
$ E_33(alpha^-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 3 ) | $
Ora qui ho dei dubbi:
è giusto che a questo punto la matrice non abbia più termini $ alpha $ ?
e se io ora facessi una $ E_32(-1) $ sarebbe corretto, visto che al passo 4 ho eseguito la stessa operazione?
Grazie anticipatamente!
Facendo la decomposizione LU ho seguito questi passi:
-PASSO 1
$ E_11(alpha^-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , alpha , alpha , 3+3alpha ) | $
-PASSO 2
$ E_21(-1)E_31(-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 , 2 , 4 ),( 0 , 0 , alpha+1 , alpha+1 , 2+3alpha ) | $
-PASSO 3
$ E_22(1/2) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , alpha+1 , alpha+1 , 2+3alpha ) | $
-PASSO 4
$ E_32(-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , alpha , alpha , 3alpha ) | $
-PASSO 4
$ E_33(alpha^-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 3 ) | $
Ora qui ho dei dubbi:
è giusto che a questo punto la matrice non abbia più termini $ alpha $ ?
e se io ora facessi una $ E_32(-1) $ sarebbe corretto, visto che al passo 4 ho eseguito la stessa operazione?
Grazie anticipatamente!
Risposte
Nella decomposizione LU non devi portare entrambe le matrici triangolari ad unitarie. Questo significa che tu non devi dividere per \(\displaystyle \alpha \) la prima e la terza e neanche per \(\displaystyle 1/2 \) la seconda.
Questo non lo sapevo..io ho svolto l'esercizio seguendone un'altro svolto che appunto rendeva unitarie le matrici.
"IlRosso":
Questo non lo sapevo..io ho svolto l'esercizio seguendone un altro svolto che appunto rendeva unitarie le matrici.
Beh, prova a moltiplicare le matrici e vedrai che non viene il risultato che ti aspetti. Comunque lo 0 in posizione (2,2) fa fallire il metodo. Per continuare dovresti scambiare due colonne (e tenerne conto).
Capito! Però, scusa la mia ignoranza, cosa succede se scambio due colonne? Nel senso che non mi è mai capitato un esercizio cosi quindi non saprei come procedere.
"IlRosso":
Capito! Però, scusa la mia ignoranza, cosa succede se scambio due colonne? Nel senso che non mi è mai capitato un esercizio cosi quindi non saprei come procedere.
Io dico che devi scambiare due colonne solo per avere una scomposizione senza zeri sulla diagonale. Comunque semplicemente ricaverai una scomposizione del tipo \(\displaystyle PAQ = LU \) dove \(\displaystyle Q \) è una matrice di permutazione. In realtà ti conviene permutare la seconda colonna con la quinta perché così non dovrebbero uscirti altri zeri problematici.
P.S: devi comunque gestire a parte il caso \(\displaystyle \alpha = 0 \)
Si, il caso $ alpha=0 $ avevo già intuito di doverlo studiare a parte e anche il fatto di scambiare la seconda colonna con la quinta ora mi è chiaro..il problema è che questo esercizio è tratto da un testo d'esame di un paio di anni fa e il professore in questione ha sempre parlato di decomposizione $ PA=LU $ e mai di $ PAQ=LU $ e per questo mi chiedo se non ci sia un altro modo di risolvere l'esercizio.
Riprendo questo vecchio post per aggiornarlo e per esprimere un piccolo dubbio. Allora partiamo dalla fattorizzazione LU della matrice originale:
$ A_alpha= | ( alpha , 2alpha , -alpha , -alpha , alpha ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , alpha , alpha , 3alpha - 3 ) | $
Applico le seguenti operazioni elementari nell'ordine: $ E_11(alpha^-1),E_21(-1),E_31(-1) $
ottenendo:
$ | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 , 2 , 4 ),( 0 , 0 , alpha+1 , alpha+1 , 3alpha+2 ) | $
Applico ora le ultime operazioni fondamentali: $ E_22(1/2),E_32(-alpha-1),E_33(alpha^-1) $
e quindi risulta:
$ | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) | = U_alpha $
Ovviamente pongo $ alpha != 0 $ e $ alpha != -1 $
La matrice $ L_alpha = E_11(alpha)E_21(1)E_31(1)E_22(2)E_32(alpha+1)E_33(alpha)=| ( alpha , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 1 , alpha+1 , alpha ) | $
Verifico che l'operazioe LU mi dia la matrice originale:
$ A_alpha = L_alpha*U_alpha=| ( alpha , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 1 , alpha+1 , alpha ) |*| ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) |=| ( alpha , 2alpha , -alpha , -alpha , alpha ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , alpha , alpha , 3alpha - 3 ) |=A_alpha $
Studio ora il caso $ alpha != 0 $ :
$ A_0=| ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , 0 , 0 , 3 ) | $
Scambio la prima riga con la seconda e successivamente la seconda con la terza: $ E_12,E_23 $ ottenendo:
$ | ( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , 0 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) | $
Infine eseguo l'operazione $ E_21(-1) $ :
$ | ( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 0 , 0 , -1 , -1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) | $
La matrice L in questo caso è molto semplice:
$ L_0=E_21(1)=| ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | $
Essendo intervenuti degli scambi di riga devo calcolarmi la matrice P:
$ P=| ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | ----> P_0=E_12E_23=| ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) |*| ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) |=| ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) | $
Facendo la verifica (quindi eseguendo P*L*U) risulta la matrice originale $ A_0 $
Il dubbio che mi sorge ora (che probabilmente è stupido ma non si sa mai) è: studiando il caso per $ alpha = -1 $ non mi è capitato di dover scambiare alcuna riga..è possibile che capiti una situazione del genere? O quando studio i valori per cui alpha si annulla mi deve capitare sempre degli scambi di riga?
$ A_alpha= | ( alpha , 2alpha , -alpha , -alpha , alpha ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , alpha , alpha , 3alpha - 3 ) | $
Applico le seguenti operazioni elementari nell'ordine: $ E_11(alpha^-1),E_21(-1),E_31(-1) $
ottenendo:
$ | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 , 2 , 4 ),( 0 , 0 , alpha+1 , alpha+1 , 3alpha+2 ) | $
Applico ora le ultime operazioni fondamentali: $ E_22(1/2),E_32(-alpha-1),E_33(alpha^-1) $
e quindi risulta:
$ | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) | = U_alpha $
Ovviamente pongo $ alpha != 0 $ e $ alpha != -1 $
La matrice $ L_alpha = E_11(alpha)E_21(1)E_31(1)E_22(2)E_32(alpha+1)E_33(alpha)=| ( alpha , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 1 , alpha+1 , alpha ) | $
Verifico che l'operazioe LU mi dia la matrice originale:
$ A_alpha = L_alpha*U_alpha=| ( alpha , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 1 , alpha+1 , alpha ) |*| ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) |=| ( alpha , 2alpha , -alpha , -alpha , alpha ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , alpha , alpha , 3alpha - 3 ) |=A_alpha $
Studio ora il caso $ alpha != 0 $ :
$ A_0=| ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , 0 , 0 , 3 ) | $
Scambio la prima riga con la seconda e successivamente la seconda con la terza: $ E_12,E_23 $ ottenendo:
$ | ( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , 0 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) | $
Infine eseguo l'operazione $ E_21(-1) $ :
$ | ( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 0 , 0 , -1 , -1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) | $
La matrice L in questo caso è molto semplice:
$ L_0=E_21(1)=| ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | $
Essendo intervenuti degli scambi di riga devo calcolarmi la matrice P:
$ P=| ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | ----> P_0=E_12E_23=| ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) |*| ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) |=| ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) | $
Facendo la verifica (quindi eseguendo P*L*U) risulta la matrice originale $ A_0 $
Il dubbio che mi sorge ora (che probabilmente è stupido ma non si sa mai) è: studiando il caso per $ alpha = -1 $ non mi è capitato di dover scambiare alcuna riga..è possibile che capiti una situazione del genere? O quando studio i valori per cui alpha si annulla mi deve capitare sempre degli scambi di riga?
Varie tipologie di matrici non hanno bisogno di permutare le righe.
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