Decomposizione LU
Ciao a tutti... 
Mi potreste spiegare le fasi operative per determinare la matrice L?
A = LU
dove A è una matrice nxp, U è una forma ridotta di Gauss per la matrice A e L è una matrice nxn triangolare inferiore..
Da quello che ho capito L viene creata dalla matrice Identità, eseguendo su di essa le stesse operazioni che vengono eseguite su A per ottenere U..
Ma in pratica?
Se $A=$ $[[-2,2,-4,-6],[-3,6,3,-15],[5,-8,-1,17],[1,1,11,7]]$ e $U=$ $[[1,-1,2,3],[0,1,3,-2],[0,0,1,2],[0,0,0,1]]$
Da quello che leggo mi sembra di capire che gli elementi diagonali di L siano i pivot di A prima della semplificazione della riga per far diventare il pivot 1 è giusto? sarebbero $d1=-2$ $d2=6$ etc
Gli altri elementi come si trovano?
Grazie a tutti...
EDIT:
ok dai, dovrei esserci...
Praticamente L è triangolare inferiore e quindi sopra la diagonale son tutti 0, mezza matrice già risolta eehehe.. Gli elementi sulla diagonale sono dati dai pivot delle varie righe prima di essere "semplificati" per diventare 1.. Gli altri elementi sono dati dall'opposto del multiplo che viene moltiplicata la i-esima riga per effettuare l'eliminazione sotto al pivot della j-esima riga.. dove j>i.
Quindi ne risulta la matrice:
$L=$ $[[-2,0,0,0],[-3,3,0,0],[5,-3,-2,0],[1,2,3,2]]$
Però, in questo caso come si procede?
Trovare per ogni $\alpha$ $in$ $CC$ la decomposizione $LU$.
$A_\alpha =$ $[[-1,\alpha,-\alpha,1],[-\alpha,1,-1,1],[-1,\alpha,0,1]]$
Gli $\alpha$ sono infiniti o sbaglio? come si procede? bisogna valutare solo supponendo $\alpha$ >0, <0 e =0?
:S Grazie
Mi potreste spiegare le fasi operative per determinare la matrice L?
A = LU
dove A è una matrice nxp, U è una forma ridotta di Gauss per la matrice A e L è una matrice nxn triangolare inferiore..
Da quello che ho capito L viene creata dalla matrice Identità, eseguendo su di essa le stesse operazioni che vengono eseguite su A per ottenere U..
Ma in pratica?
Se $A=$ $[[-2,2,-4,-6],[-3,6,3,-15],[5,-8,-1,17],[1,1,11,7]]$ e $U=$ $[[1,-1,2,3],[0,1,3,-2],[0,0,1,2],[0,0,0,1]]$
Da quello che leggo mi sembra di capire che gli elementi diagonali di L siano i pivot di A prima della semplificazione della riga per far diventare il pivot 1 è giusto? sarebbero $d1=-2$ $d2=6$ etc
Gli altri elementi come si trovano?
Grazie a tutti...
EDIT:
ok dai, dovrei esserci...
Praticamente L è triangolare inferiore e quindi sopra la diagonale son tutti 0, mezza matrice già risolta eehehe.. Gli elementi sulla diagonale sono dati dai pivot delle varie righe prima di essere "semplificati" per diventare 1.. Gli altri elementi sono dati dall'opposto del multiplo che viene moltiplicata la i-esima riga per effettuare l'eliminazione sotto al pivot della j-esima riga.. dove j>i.
Quindi ne risulta la matrice:
$L=$ $[[-2,0,0,0],[-3,3,0,0],[5,-3,-2,0],[1,2,3,2]]$
Però, in questo caso come si procede?
Trovare per ogni $\alpha$ $in$ $CC$ la decomposizione $LU$.
$A_\alpha =$ $[[-1,\alpha,-\alpha,1],[-\alpha,1,-1,1],[-1,\alpha,0,1]]$
Gli $\alpha$ sono infiniti o sbaglio? come si procede? bisogna valutare solo supponendo $\alpha$ >0, <0 e =0?
:S Grazie
Risposte
Nessun aiutino? 
Grazie, e scusate l'insistenza.. :-S
Grazie, e scusate l'insistenza.. :-S
mi cade l'occhio sull'ultima riga: se $alpha\in CC$ che senso ha dire $alpha>0$? 
Non lo sò sinceramente eheheh 
Come bisgona procedere per il calcolo su quella matrice? cioè quali sono i possibili $\alpha$ ? Grazie!
Come bisgona procedere per il calcolo su quella matrice? cioè quali sono i possibili $\alpha$ ? Grazie!
Perchè dici che gli $alpha$ sono infiniti? per la $U$ fai la decomposizione di Gauss normale cioè:
1) cambi tutte le righe di segno
2) alla seconda riga metti la seconda riga meno la prima
3)alla terza riga metti la terza meno $alpha$ volte la prima
e poi per il resto fai come hai fatto nell'esempio numerico, non c'è bisogno di fare casi diversi, se $alpha$ è complesso la fattorizzazione LU funziona sia che sia il coniugato o meno e anche se è $0$.
Spero di averti dato una mano...
1) cambi tutte le righe di segno
2) alla seconda riga metti la seconda riga meno la prima
3)alla terza riga metti la terza meno $alpha$ volte la prima
e poi per il resto fai come hai fatto nell'esempio numerico, non c'è bisogno di fare casi diversi, se $alpha$ è complesso la fattorizzazione LU funziona sia che sia il coniugato o meno e anche se è $0$.
Spero di averti dato una mano...
Allora forse sono rimasto fregato dalla frase "trovare per ogni $\alpha$ " ora provo a farla, lasciando $\alpha$ come lettera giusto?
Penso proprio di si. Di solito quando c'è di mezzo una lettera si mette sempre il "per ogni" per dire che quello che si sta facendo va bene qualunque valore ci metti. Non vuol dire che lo devi determinare; di certo dalla sola matrice iniziale con la $alpha$ non puoi trovare $L$ e $U$ indipendenti da essa.
Posto la soluzione allora..
Porto A in una forma ridotta di Gauss U:
$[[-1,\alpha,-\alpha,1],[-\alpha,1,-1,1],[-1,\alpha,0,1]]$ --> $[[1,-\alpha,\alpha,-1],[0,-\alpha^2+1,\alpha^2-1,-\alpha+1],[0,0,\alpha,0]]$ ---> $[[1,-\alpha,\alpha,-1],[0,1,-1,1/(1+\alpha)],[0,0,\alpha,0]]$ ---> $[[1,-\alpha,\alpha,-1],[0,1,-1,1/(1+\alpha)],[0,0,1,0]]$ $= U$
Quindi L è:
$[[-1,0,0],[-\alpha,-\alpha^2+1,0],[-1,0,\alpha]]$
ed effettivamente risulta che $A=LU$
La domanda successiva è:
Interpretando $A_\alpha$ come la matrice completa di un sistema lineare, per quali valori di $\alpha$ il sistema ha soluzione?
La mia risposta ad intuito sarebbe per tutti i valori ad eccetto di $-1$ in quanto con $\alpha = -1$ otterrei nell'ultima colonna di $U$ una divisione per $0$. Ci siamo? Io ho considerato l'ultima colonna della matrice come se fosse la colonna dei termini noti di una matrice aumentata..
Porto A in una forma ridotta di Gauss U:
$[[-1,\alpha,-\alpha,1],[-\alpha,1,-1,1],[-1,\alpha,0,1]]$ --> $[[1,-\alpha,\alpha,-1],[0,-\alpha^2+1,\alpha^2-1,-\alpha+1],[0,0,\alpha,0]]$ ---> $[[1,-\alpha,\alpha,-1],[0,1,-1,1/(1+\alpha)],[0,0,\alpha,0]]$ ---> $[[1,-\alpha,\alpha,-1],[0,1,-1,1/(1+\alpha)],[0,0,1,0]]$ $= U$
Quindi L è:
$[[-1,0,0],[-\alpha,-\alpha^2+1,0],[-1,0,\alpha]]$
ed effettivamente risulta che $A=LU$
La domanda successiva è:
Interpretando $A_\alpha$ come la matrice completa di un sistema lineare, per quali valori di $\alpha$ il sistema ha soluzione?
La mia risposta ad intuito sarebbe per tutti i valori ad eccetto di $-1$ in quanto con $\alpha = -1$ otterrei nell'ultima colonna di $U$ una divisione per $0$. Ci siamo? Io ho considerato l'ultima colonna della matrice come se fosse la colonna dei termini noti di una matrice aumentata..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo