Decomposizione di rototraslazione
Come si sa, una rototraslazione è la composizione di una rotazione e di una traslazione di vettore parallelo all'asse di rotazione. Se prendo una matrice, la studio e scopro essere appunto la matrice di una rototraslazione, come determino la decomposizione in traslazione + rotazione? La parte vettoriale della matrice mi da informazioni intorno alla retta unita, ma tale retta è passante per l'origine; se essa è stata prima traslata, come trovo la decomposizione esatta? C'è una convenzione?
Ringrazio
Ringrazio
Risposte
Sarebbe meglio se scrivessi un esempio, in modo da far capire che cosa hai a disposizione.
Se hai l'equazione di una conica, invertire la traslazione equivale a fare il cosiddetto "completamento del quadrato", che poi sarebbe un cambio di variabile scelto in modo furbo, che ti permette di ricentrare la conica traslata.
Non so se lo stesso procedimento si applica anche al tuo caso.
Se hai l'equazione di una conica, invertire la traslazione equivale a fare il cosiddetto "completamento del quadrato", che poi sarebbe un cambio di variabile scelto in modo furbo, che ti permette di ricentrare la conica traslata.
Non so se lo stesso procedimento si applica anche al tuo caso.
Intanto ti ringrazio per la risposta, Raptorista. Provo a spiegarmi meglio con un esempio: considero la rototraslazione di matrice \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & -1 & 0 \\ 7/3 & -1 & 0 & 0 \\ 2/3 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]
Mi viene chiesto di decomporla come una rotazione seguita di una traslazione. Il mio problema riguarda la prima colonna: conosco la retta unita dallo studio della parte vettoriale della matrice, ma non so per quale punto passi.
La matrice andrebbe decomposta come \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & 0 \\ b & 0 & 1 & 0 \\ c & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ d & 0 & -1 & 0 \\ e & -1 & 0 & 0 \\ f & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] ove il vettore \[\displaystyle \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \] dev'essere parallelo all'asse di rotazione... Ma come lo determino? Potenzialmente esistono infinite decomposizioni di quel tipo...
Mi viene chiesto di decomporla come una rotazione seguita di una traslazione. Il mio problema riguarda la prima colonna: conosco la retta unita dallo studio della parte vettoriale della matrice, ma non so per quale punto passi.
La matrice andrebbe decomposta come \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & 0 \\ b & 0 & 1 & 0 \\ c & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ d & 0 & -1 & 0 \\ e & -1 & 0 & 0 \\ f & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] ove il vettore \[\displaystyle \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \] dev'essere parallelo all'asse di rotazione... Ma come lo determino? Potenzialmente esistono infinite decomposizioni di quel tipo...
L'asse di rotazione è la retta $x+y=0, z=0$. Una rotazione di 180°.
Per trovarla calcoli gli autospazi della rotazione e vedi che hai $L"("(1,1,0),(0,0,1)")"$ e $L"("(1,-1,0)")"$, cioè la rotazione attorno al vettore $(1,-1,0)$.
Per trovarla calcoli gli autospazi della rotazione e vedi che hai $L"("(1,1,0),(0,0,1)")"$ e $L"("(1,-1,0)")"$, cioè la rotazione attorno al vettore $(1,-1,0)$.
Ok, fin lì ci sono. Ma il problema è un altro, e forse mi sono spiegato di nuovo male io. Le decomposizione riportata nella soluzione è la seguente \[\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 4/3 & 0 & -1 & 0 \\ 4/3 & -1 & 0 & 0 \\ 2/3 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]
La domanda è: la determinazione delle rispettive prime colonne è arbitraria o no? Infatti ci sono infinite altre decomposizioni di questo tipo, che fanno seguire alla rotazione una traslazione parallela all'asse
Di conseguenza l'asse di rotazione è quello che indichi tu, Quinzio, ma traslato.
La domanda è: la determinazione delle rispettive prime colonne è arbitraria o no? Infatti ci sono infinite altre decomposizioni di questo tipo, che fanno seguire alla rotazione una traslazione parallela all'asse
Di conseguenza l'asse di rotazione è quello che indichi tu, Quinzio, ma traslato.
Ok, avrei dovuto premettere che non conosco bene la teoria di questo argomento, ma non l'ho fatto.
Quindi considera quello che scrivo più come un commento che altro.
Io onestamente non vedo differenza tra fare una rototraslazione e fare una "rotazione rispetto a un asse traslato e poi fare una traslazione". Difatti è sempre la stessa operazione.
Faccio una rotazione attorno a un asse, e tutto lo spazio ruota e poi traslo a piacere spostando l'asse di rotazione dove voglio.
Quelle due matrici moltiplicate che hai scritto:
quella a destra fa una rotazione a poi trasla lungo un piano ortogonale all'asse di rotazione
quella a sinistra trasla nella direzione dell'asse di rotazione.
Non so perchè ci sia bisogno di separare queste due operazioni.
Di più non saprei dire.
Quindi considera quello che scrivo più come un commento che altro.
Io onestamente non vedo differenza tra fare una rototraslazione e fare una "rotazione rispetto a un asse traslato e poi fare una traslazione". Difatti è sempre la stessa operazione.
Faccio una rotazione attorno a un asse, e tutto lo spazio ruota e poi traslo a piacere spostando l'asse di rotazione dove voglio.
Quelle due matrici moltiplicate che hai scritto:
quella a destra fa una rotazione a poi trasla lungo un piano ortogonale all'asse di rotazione
quella a sinistra trasla nella direzione dell'asse di rotazione.
Non so perchè ci sia bisogno di separare queste due operazioni.
Di più non saprei dire.
"Rotazione seguita da traslazione parallela all'asse di rotazione" è in somma sintesi la definizione di rototraslazione che ha dato il mio professore. Il problema è che non sono riuscito a capire come venga determinata quella decomposizione (e se sia del tutto arbitraria), e il tuo commento, Quinzio, è opportuno e non fuori luogo.
Sul libro del mio professore c'è scritto:
Consideriamo la matrice \[\displaystyle G_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ a & R & 0 \\ c & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ove \(\displaystyle R \) è il classico blocco di rotazione e \(\displaystyle a ={}^{t}(a_{1},a_{2}) \in \mathbb{R}^{2} \).
Se \(\displaystyle R \ne 0 \) e \(\displaystyle c \ne 0 \), scelta come origine del sistema di riferimento \(\displaystyle P_{0}'=P_{0}+x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2}\), con \(\displaystyle x={}^{t}(x_{1},x_{2}) \) l'unica soluzione del sistema \(\displaystyle (R-1_{2})x +a=0 \), la matrice \(\displaystyle G_{1} \) corrisponde alla rotazione di asse \(\displaystyle P_{0}'+ \langle v_{3} \rangle \) seguita dalla traslazione di vettore \(\displaystyle cv_{3} \).
Come interpreto nel mio caso? Come trovo \(\displaystyle P_{0}' \)? Non riesco a capirlo...
Consideriamo la matrice \[\displaystyle G_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ a & R & 0 \\ c & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ove \(\displaystyle R \) è il classico blocco di rotazione e \(\displaystyle a ={}^{t}(a_{1},a_{2}) \in \mathbb{R}^{2} \).
Se \(\displaystyle R \ne 0 \) e \(\displaystyle c \ne 0 \), scelta come origine del sistema di riferimento \(\displaystyle P_{0}'=P_{0}+x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2}\), con \(\displaystyle x={}^{t}(x_{1},x_{2}) \) l'unica soluzione del sistema \(\displaystyle (R-1_{2})x +a=0 \), la matrice \(\displaystyle G_{1} \) corrisponde alla rotazione di asse \(\displaystyle P_{0}'+ \langle v_{3} \rangle \) seguita dalla traslazione di vettore \(\displaystyle cv_{3} \).
Come interpreto nel mio caso? Come trovo \(\displaystyle P_{0}' \)? Non riesco a capirlo...
"Delirium":
Sul libro del mio professore c'è scritto:
Consideriamo la matrice \[\displaystyle G_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ a & R & 0 \\ c & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ove \(\displaystyle R \) è il classico blocco di rotazione e \(\displaystyle a ={}^{t}(a_{1},a_{2}) \in \mathbb{R}^{2} \).
Se \(\displaystyle R \ne 0 \) e \(\displaystyle c \ne 0 \), scelta come origine del sistema di riferimento \(\displaystyle P_{0}'=P_{0}+x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2}\), con \(\displaystyle x={}^{t}(x_{1},x_{2}) \) l'unica soluzione del sistema \(\displaystyle (R-1_{2})x +a=0 \), la matrice \(\displaystyle G_{1} \) corrisponde alla rotazione di asse \(\displaystyle P_{0}'+ \langle v_{3} \rangle \) seguita dalla traslazione di vettore \(\displaystyle cv_{3} \).
Come interpreto nel mio caso? Come trovo \(\displaystyle P_{0}' \)? Non riesco a capirlo...
Per trovare $x$ mi sembra si proceda così:
$(\bb R - \bb I )x+a=0$
$x=(\bb R\ - \bb I )^(-1)(-a)$
Basta fare i calcoli "all'indietro".
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