Decomposizione di Iwasawa

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Il seguente esercizio l'ho risolto quasi completamente e ho comparato il modo in cui ho fatto io con le soluzioni, ci sono alcuni dettagli che non mi sono chiarissimi e mi piacerebbe comprendere bene, l'enunciato dell'esercizio è lungo ma non sono molte le mie domande, 2 e suppongo brevi, in più il punto 8 avendolo fatto in modo diverso dalle soluzioni mi domandavo se era corretto.
Sia il gruppo \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})=\{ \begin{pmatrix}
a &b \\
c& d
\end{pmatrix}, a,b,c,d \in \mathbb{R}, ad-bc=1\} \), ricordiamo che questo gruppo agisce sul semi piano di Poincare \( \mathbb{H}= \{ z=x+iy\in \mathbb{C}, y>0 \} \) per un omografia
\[\begin{pmatrix}
a &b \\
c& d
\end{pmatrix} \cdot z = \frac{az+b}{cz+d} \]
Consideriamo inoltre i sotto insiemi
\( N=\{n(x)= \begin{pmatrix}
1 &x \\
0& 1
\end{pmatrix}, x \in \mathbb{R}\} \)
\( A=\{a(y)= \begin{pmatrix}
y^{1/2} &0 \\
0& y^{-1/2}
\end{pmatrix}, y \in \mathbb{R}_{>}\} \)
\( K=\operatorname{SO}_2(\mathbb{R})=\{\begin{pmatrix}
a &-b \\
b& a
\end{pmatrix}, a^2 + b^2 = 1\} \)
La decomposizione di Iwasawa è il risultato seguente
Teorema: Tutte le matrici \( g \in SL_2(\mathbb{R}) \) si decompongono in maniera unica sotto forma di
\( g= n \cdot a \cdot k \) dove \( n \in N, a \in A, k \in K \)

Per dimostrare questo risultato utilizzeremo l'azione di \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) \) sul semi piano di Poincare \( \mathbb{H} \).
1. Dimostra che \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) \) agisce transitivamente su \( \mathbb{H} \). Per farlo dimostra che per tutti \( z \in \mathbb{H} \) esiste \( g \in N \cdot A \) tale che \( g \cdot i = z \).

2. Dimostra che lo stabilizzatore di \( i \) in \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) \), \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})_i \) è \( K \) e dedurne una biiezione: \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})/K \simeq \mathbb{H} \)

3. Dimostra che \( N \) e \( A \) sono dei sotto-gruppi di \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) \), e che \( N \) è isomorfo a \( (\mathbb{R},+) \) e \( A \) è isomorfo a \( (\mathbb{R}_{>}, \times) \)

4. Dimostra che
\[N\cdot A=\{n \cdot a, n \in N, a \in A\} \]
è un sottogruppo di \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) \) e che \( N\cdot A \cap K = \{ Id \} \)

5. Dati \(n \in N \) e \( a \in A \) a cosa corrispondono le trasformazioni di \( \mathbb{C} \), \( z \to n \cdot z \) e \( z \to a \cdot z \). Quali sono le orbite di \( N \) e \( A \) in \( \mathbb{H} \). Dare un dominio fondamentale per ciascun gruppo.

6. Dimostra che per tutti \( z = x + iy \in \mathbb{H} \) esiste un unico \( n \in N \) e un unico \( a \in A \) tale che \( n \cdot a \cdot i=z \)

7. Sia \(g \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) \), considerando il complesso \( z:= g i \) e scrivendolo sotto forma \( z= n \cdot a \cdot i \) dimostra che esiste \( k \in K \) tale che
\( g=n\cdot a \cdot k \)

8. Dimostra che questa rappresentazione è unica

1. Okay ho dimostrato che \( \forall z \in \mathbb{C}, z \in NA \cdot i \) dunque c'è una sola orbita e pertanto è transitiva.

2. Ho dimostrato che \( g i = i \Leftrightarrow g \in K \).
Nelle soluzioni poi conclude dicendo: Per il teorema orbita-stabilizzatore abbiamo una biiezione tra \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})/K \) e l'orbita di \( i \) dunque \( \mathbb{H} \)

Teorema Orbita-stabilizzatore: Sia \( X \) un \( G \)-insieme e \( x \in X \) un elemento. Notiamo con \( \mathcal{O} =G x \in G/X \) e notiamo \( G_x \) lo stabilizzatore di \( x \) in \( G \), l'applicaione
\( g\cdot G_x \in G/G_x \to g\cdot x \in \mathcal{O} \) definisce una biiezione tra l'insieme (delle \( G_x\)-orbite di \( G \) per la moltilicazione a destra) \( G/G_x = \{ g \cdot G_x, g \in G \} \) e la \( G\)-orbita \( \mathcal{O}=G\cdot x \)
In più se \( x' \in \mathcal{O} \) è nel orbita di \( x \) allora il suo stabilizzatore \( G_{x'} \) è cogniugato a quello di \( x \) e sono dunque isomorfi. Inoltre i due stabilizzatori hanno lo stesso cardinale. In particolare se \( X \) e \( G \) sono finiti
\( \begin{vmatrix} G x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} G \end{vmatrix}/ \begin{vmatrix} G_x \end{vmatrix} \)

Dunque okay sono d'accordo che l'applicazione \( g\cdot K \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})/K \to g\cdot i \in NAi \) è una biiezione ma mi domando perché conclude così facilmente che c'è una biiezione tra \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})/K \) e \( \mathbb{H} \)

3. Okay
4. Okay

5.
\( nz= z+x \) dunque è una translazione per \( x \) reale. Le orbite sono dunque delle rette orizzontali paralleli a \(Ox\). Un dominio fondamentale è \( i \mathbb{R} \)
\( az= zy \) dunque è una omotetia per \( y \) reale. Le orbite sono dunque delle semi-rette che partono da \(z \) passanti per l'origine. Un dominio fondamentale è \(\mathcal{C}^1 \cap \mathbb{H} \) dove \( \mathcal{C}^1 \) è il semi cerchio unitario superiore.

-Mi domandavo se per trovare il dominio fondamentale c'è un metodo oppure si vede "ad occhio", per finire è un insieme che prende un rappresentante di ogni orbita, giusto? Idem per le orbite.
- Io però sulle orbite di \( az \) avrei detto che sono delle semi-rette che partono dall'origine e passano per \( z \).

6. Okay
7. Okay

Per 8. io ho fatto in modo diverso dalle correzioni ma non so se è corretto
Sia \( g=nak = n' a' k' \),
Ponendo per il punto 7) il numero complesso \( z:= gi = naki = n'a'k'i \) e per il punto 2) abbiamo che \( k , k' \in K \) appartengono allo stabilizzatore di \( i \), dunque \( ki =i \) e \( k'i =i \) pertanto \( z=nai=n'a'i \) e abbiamo già dimostrato nel punto 6) che questa rappresentazione è unica dunque \( n=n' \) e \( a=a' \) pertanto risulta chiaramente che \( nak=nak' \Leftrightarrow (na)^{-1} na k = k' \Leftrightarrow k=k' \).
Dunque una tale decomposizione di \( g \) è unica.

Grazie in anticipo.

[Euclidino]

È perfetto.