Dato sottospazio: deter. base, verif. suriettività, matr ass
Scusate per il titolo lungo, ma devo risolvere un esercizio di un vecchio esame di geometria per esercitarmi, ma ho dei dubbi sull'impostazione di risoluzione.
Sia V = (f(x; y; z) appartiene $ R^3$ : x + y - z = 0; x - y + z = 0) e sia f:$ R^3$ --> $ R^3$ l’applicazione lineare
avente come nucleo il sottospazio V e tale che $ \lambda$ = 2 è autovalore con autospazio generato dai vettori
(1; 1; 1) e (1; 1; 2).
(i) Determinare una base per V .
(ii) Provare che f non è suriettiva.
(iii) Scegliere una base B per $ R^3$ formata da autovettori di f e scrivere la matrice associata ad f rispetto
alla base B.
-Non sono sicuro del ragionamento che ho fatto perchè esercizi con tale impostazioni non ne ho fatti, però ho pensato di procedere in questo modo:
Ho calcolato mettendo a sistema le due equazioni del sottospazio e ne ottengo tale soluzione (-y+z ; y; y) quindi ---> y(-1;1;1) e z(1;0;0) , avendo così ricavato due autovettori, per ricavare una base come richiesto al primo punto dovrei mettere B=(1;1;1),(1;1;2), e una di quelle ricavate dal nucleo es: B=(1;1;1),(1;1;2),(-1,1;1) Anche se non sono sicuro ti tale ragionamento.
-Per il secondo punto, qui l'incertezza aumenta so le regole generali che si basano sulla dimensione di R, ma non è il caso.
-Terzo punto, se ho trovato una base di V come sopra al primo punto, la matrice richiesta se non ho capito male dovrebbe essere quella che ha per colonne gli autovettori che formano la base.
Se il ragionamento è sbagliato, sarei grato se sapreste indirizzarmi sulla giusta strada per risolvere l'esercizio....grazie
Sia V = (f(x; y; z) appartiene $ R^3$ : x + y - z = 0; x - y + z = 0) e sia f:$ R^3$ --> $ R^3$ l’applicazione lineare
avente come nucleo il sottospazio V e tale che $ \lambda$ = 2 è autovalore con autospazio generato dai vettori
(1; 1; 1) e (1; 1; 2).
(i) Determinare una base per V .
(ii) Provare che f non è suriettiva.
(iii) Scegliere una base B per $ R^3$ formata da autovettori di f e scrivere la matrice associata ad f rispetto
alla base B.
-Non sono sicuro del ragionamento che ho fatto perchè esercizi con tale impostazioni non ne ho fatti, però ho pensato di procedere in questo modo:
Ho calcolato mettendo a sistema le due equazioni del sottospazio e ne ottengo tale soluzione (-y+z ; y; y) quindi ---> y(-1;1;1) e z(1;0;0) , avendo così ricavato due autovettori, per ricavare una base come richiesto al primo punto dovrei mettere B=(1;1;1),(1;1;2), e una di quelle ricavate dal nucleo es: B=(1;1;1),(1;1;2),(-1,1;1) Anche se non sono sicuro ti tale ragionamento.
-Per il secondo punto, qui l'incertezza aumenta so le regole generali che si basano sulla dimensione di R, ma non è il caso.
-Terzo punto, se ho trovato una base di V come sopra al primo punto, la matrice richiesta se non ho capito male dovrebbe essere quella che ha per colonne gli autovettori che formano la base.
Se il ragionamento è sbagliato, sarei grato se sapreste indirizzarmi sulla giusta strada per risolvere l'esercizio....grazie
Risposte
"dovesimone":
Scusate per il titolo lungo, ma devo risolvere un esercizio di un vecchio esame di geometria per esercitarmi, ma ho dei dubbi sull'impostazione di risoluzione.
Sia V = (f(x; y; z) appartiene $ R^3$ : x + y - z = 0; x - y + z = 0) e sia f:$ R^3$ --> $ R^3$ l’applicazione lineare
avente come nucleo il sottospazio V e tale che $ \lambda$ = 2 è autovalore con autospazio generato dai vettori
(1; 1; 1) e (1; 1; 2).
(i) Determinare una base per V .
(ii) Provare che f non è suriettiva.
(iii) Scegliere una base B per $ R^3$ formata da autovettori di f e scrivere la matrice associata ad f rispetto
alla base B.
Vediamo di mettere un pochino di ordine.
-Non sono sicuro del ragionamento che ho fatto perchè esercizi con tale impostazioni non ne ho fatti, però ho pensato di procedere in questo modo:,
Ho calcolato mettendo a sistema le due equazioni del sottospazio e ne ottengo tale soluzione (-y+z ; y; y) quindi ---> y(-1;1;1) e z(1;0;0)
Cerca di risolvere bene il sistema! Una volta risolto il sistema, chiediti cosa rappresentano quelle soluzione e come puoi descriverle in maniera compatta. Riguardo all'ultimo punto devi ricordare che le soluzioni di un sistema omogeneo sono un sottospazio vettoriale.
avendo così ricavato due autovettori,
Risolvendo il sistema con le equazioni che caratterizzano $V$ avresti ricavato due autovettori? Non solo non è così, ma il sistema non è risolto bene.
per ricavare una base come richiesto al primo punto dovrei mettere B=(1;1;1),(1;1;2), e una di quelle ricavate dal nucleo es: B=(1;1;1),(1;1;2),(-1,1;1) Anche se non sono sicuro ti tale ragionamento.
Una base di $V$ si determina considerando $3$ vettori linearmente indipendenti di $RR^3$
-Per il secondo punto, qui l'incertezza aumenta so le regole generali che si basano sulla dimensione di R, ma non è il caso.
Si faranno delle considerazioni sul nucleo e l'immagine.
-Terzo punto, se ho trovato una base di V come sopra al primo punto, la matrice richiesta se non ho capito male dovrebbe essere quella che ha per colonne gli autovettori che formano la base.
Per il terzo punto devi determinare una base di autovettori, in questo caso specifico da te postato non è difficile. La si determina con semplici considerazioni, anche perchè due autovettori sono assegnati. Poi devi scrivere la matrice rispetto questa base di autovettori. Sarà una matrice$3x3$ che avrà come colonne le componenti degli autovettori rispetto alla stessa base di autovettori
Se il ragionamento è sbagliato, sarei grato se sapreste indirizzarmi sulla giusta strada per risolvere l'esercizio....grazie
Inizia a determinare bene le soluzioni di $V$.....
Esiste un pochino di confusione, poi rivedi questi argomenti:
1) Rivedi il concetto di autovettore.
2) Rivedi l'equazione che coinvolge nucleo e immagine di una applicazione lineare.
Si vero ho risolto male il sistema....sarà perchè ho provato a risolvere l'esercizio ieri notte tardi.....
Spero di arrivare fino a fine esercizio
Spero di arrivare fino a fine esercizio
Allora ho svolto l'esercizio, dal sistema ottengo il vettore (0,1,1)
-quindi risolvendo il primo punto dato che il ker f ha dimensione 1 la base di V è formata solo da (0,1,1)
-Secondo punto: dato che la dim kerf=1 quella dell' Im f=3-1=2 dato che 2=!3 la funzione non è suriettiva
-Ultimo punto: La base formata dagli autovettori è B = {(1; 1; 1) , (1; 1; 2) , (0; 1; 1)} , ho utilizzato anche il vettore del nucleo che ha $\lambda$ = 0
La matrice associata rispetto la base dovrebbe essere quella che h per diagonale i vari$ \lambda$ trovati, che sono 0, 2, 2
GIusto?Conferme?Smentite?
-quindi risolvendo il primo punto dato che il ker f ha dimensione 1 la base di V è formata solo da (0,1,1)
-Secondo punto: dato che la dim kerf=1 quella dell' Im f=3-1=2 dato che 2=!3 la funzione non è suriettiva
-Ultimo punto: La base formata dagli autovettori è B = {(1; 1; 1) , (1; 1; 2) , (0; 1; 1)} , ho utilizzato anche il vettore del nucleo che ha $\lambda$ = 0
La matrice associata rispetto la base dovrebbe essere quella che h per diagonale i vari$ \lambda$ trovati, che sono 0, 2, 2
GIusto?Conferme?Smentite?
Va bene.
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