Dato il fascio,determina le parabola,e scrivere l'eq canonic

[baloobb]

ciao a tutti volevo sapere se fosse giusto il procedimento.

Allora dato il fascio F: $ (2x^2+2y^2-5x-5y+6)+k(x^2+y^2-2xy-x-y)=0 $ determinare le parabole,studiandone le propietà e scrivere se possibile l'equazione canonica.


prima di tutto sono andato a trovarmi K nel seguente modo ho svolto il prodotto di $ k(x^2+y^2-2xy-x-y) $ dopo di che ho raggrupato le varie x e y e ho imposto cosi una matrice secondo i coefficienti di un equazione generale di una conica.

da cui ho trovato questa matrice 2x2 di cui ne ho fatto il determinante
$ | ( 2+k , -k ),( -k , 2+k ) | $ il risultato è K=-1 che ho sostituito nel fascio trovandomi cosi l'equazione della parabola!

di cui il determinante della 3x3 mi veniva 0 quindi degenere e quello della 2x2=0 quindi proprio quello di una parabola poi ho trovato l'equazione canonica.

sono giusti i procedimenti?

[byob12]

innanzitutto ti ricordo che i fasci di coniche si possono essere di 2 'tipi':
1. contengono coniche di un solo tipo (ad es. fasci di circonferenze)
2. contengono coniche diverse

in particolare, questo secondo tipo di fascio di coniche contiene in generale:

al piu 3 coniche degeneri
$oo$ ellissi (tra cui al piu una circonferenza)
$oo$ iperboli (tra cui al piu una equilatera)
al piu 2 parabole[/list:u:2iafxw62]

quindi quando trovi una sola parabola (come nel tuo caso) devi andare a verificare che la seconda possibile parabola non sia quella scritta nell'equazione del fascio, in particolare nella parte di equazione dopo il parametro $k$.
infatti non esiste nessun valore reale del parametro $k$ che ti permette di individuare la conica
$\Gamma : x^2+y^2-2xy-x-y=0$
che pure fa parte del fascio del tuo esercizio (di solito si dice che individui quella conica per $k=oo$).
se controlli questa conica è proprio una parabola.

la parabola che hai trovato tu è degenere; il testo del tuo esercizio chiede di studiare le proprieta delle parabole trovate quindi non so se quelle degeneri sono da considerare.
infatti per $k=-1$ si ha la conica $\Omega : x^2+2xy+y^2-4x-4y+6=0$ che altro non è che una coppia di rette complesse coniugate senza punti in comune.