Dati due vettori trovarene un terzo per formare base
Ciao a tutti,
dati due vettori:
$ w_1 = (1,0,1)$
$w_2 = (-1,-5,-1) $
determinare un vettore $w_3$ in modo tale che i tre vettori formino una base di $RR^3$.
La mia domanda è: imporre il determinante, della matrice avente come colonne questi vettori, diverso da zero mi assicura che, oltre ad essere l.i., generino $RR^3$?
Grazie.
dati due vettori:
$ w_1 = (1,0,1)$
$w_2 = (-1,-5,-1) $
determinare un vettore $w_3$ in modo tale che i tre vettori formino una base di $RR^3$.
La mia domanda è: imporre il determinante, della matrice avente come colonne questi vettori, diverso da zero mi assicura che, oltre ad essere l.i., generino $RR^3$?
Grazie.
Risposte
Certo...perché una base di $\RR ^3$ ha sempre $3$ elementi e in particolare c'è un teorema che afferma che:
Se $V$ è uno spazio di dimensione $n$ e $v_1 . . . v_n$ sono $n$ vettori di $V$, allora:
$v_1 . . . v_n$ sono un sistema di generatori di $V$ se e solo se sono linearmente indipendenti.
Dorebbe essere uno dei primi risultati che si dimostrano quando si introduce la nozione di base.
Se $V$ è uno spazio di dimensione $n$ e $v_1 . . . v_n$ sono $n$ vettori di $V$, allora:
$v_1 . . . v_n$ sono un sistema di generatori di $V$ se e solo se sono linearmente indipendenti.
Dorebbe essere uno dei primi risultati che si dimostrano quando si introduce la nozione di base.
Ok, grazie.
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