Data una matrice simmetrica trovare una matrice ortogonale

[SimoneSc1]

Buongiorno e buon Santo Stefano!

Dovrei riuscire a risolvere questo esercizio:

Data la matrice simmetrica:

$A= ((0,2,-1),(2,0,-1),(-1,-1,2))$

trovare una matrice ortogonale $M$ tale che $M^(-1)AM$ sia diagonale.

Io so che per determinare una matrice $M$ ortogonale tale che $M^(-1)AM$ sia diagonale devo:

1) Determinare gli autovettori di $A$;
2) Determinare una base ortonormale a partire dagli autovettori linearmente indipendenti appena trovati (dovrei quindi normalizzare gli autovettori linearmente indipendenti appena determinati);
3) Scrivere la matrice $M$ che ha per colonne gli elementi della base trovata;

Per determinare gli autovettori devo prima determinare gli autovalori della matrice $A$:
Devo quindi costruirmi la matrice $\lambdaI–A$ e calcolarne il determinante. Il determinante di questa matrice sarà dunque il polinomio caratteristico. Ponendo il polinomio caratteristico $p(\lambda)=0$ mi trovo gli autovalori di A che sono le soluzioni di quell'equazione.

Quindi:
$det(A-\lambdaI) = 0$
$det(A-\lambdaI) = det ((-\lambda,2,-1),(2,\lambda,-1),(-1,-1,2-\lambda))$

L'ho risolta con Sarrus e l'equazione cartesiana che mi è venuta è:
$-\lambda^3+2\lambda^2+6\lambda-4=0$

Le cui soluzioni sono:
$\lambda_1 = -2$
$\lambda_2 = 2-sqrt(2)$
$\lambda_3 = 2+sqrt(2)$

Io so che $Av$ = $\lambdav$ $<=>$ $(A-\lambdaI)v=0$

Per calcolare gli autovettori relativi a $\lambda_1 = -2$ devo determinare una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo.

Riduco quindi con Gauss la matrice:
$(A-\lambda_1I) = ((2,2,-1),(2,2,-1),(-1,-1,2+2))$

E mi viene di $rango = 2$, ed essendo il rango minore del numero di incognite vuol dire che il sistema ammette un'unica soluzione ovvero quella banale, giusto?
Difatti il sistema mi verrebbe con $x, y, z = 0$. Non so però come continuare.

Ho provato anche con l'altro autovalore:
$\lambda_2 = -2-sqrt(2)$

$(A-\lambda_2I) = ((-2+sqrt(2),2,-1),(2,-2+sqrt(2),-1),(-1,-1,2-2+sqrt(2)))$

Che ridotta con Gauss mi viene:

$((1,0,-sqrt(2)/2),(0,1,-sqrt(2)/2),(0,0,0))$

Il $rango$ quindi è $2$ e per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ammette $oo^1$ soluzioni. Dunque infinite soluzioni che dipendono da un solo parametro. Devo porre una qualsiasi delle incognite $x, y, z$ uguale a qualche cosa?

Mi servirebbe una mano per capire se tutto ciò che ho scritto è giusto ed eventualmente per continuare con la risoluzione dell'esercizio.
Grazie mille della disponibilità e buone feste.

[Bokonon]

Gli autovalori sono corretti.
La matrice associata a -2 è corretta. L'altra devi rivederla.
Hai tre autovalori distinti quindi per il teorema spettrale troverai tre autovettori/autospazi distinti e ortogonali fra di loro.
Tutte le matrici avranno rango 2 e pertanto il loro kernel ha dimensione 1. Trova i tre kernel.
Fai pratica con Gauss

[SimoneSc1]

In realtà non dovrebbero essere sbagliate entrambe le matrici? Perché nel momento in cui sostituisco il primo autovalore $\lambda = -2$ nella matrice sulla cui diagonale principale vi sono tutti $-\lambda$ dovrei mettere $+2$ e non $-2$. Se così fosse provvederò a correggere entrambe le eliminazioni di Gauss. Intanto provo a fare ciò che mi hai detto. Grazie dell'aiuto!

Edit: Ho corretto entrambe le matrici perché gli autovalori erano giusti, ma le eliminazioni di Gauss no

[Obidream]

Non ho capito se hai risolto o meno dall'edit, comunque la matrice relativa a $\lambda_1=-2$ è:

$A-\lambda_1 = ((2,2,-1),(2,2,-1),(-1,-1,0))$

$r_2 = r_1 - r_2$

$((2,2,-1),(0,0,0),(-1,-1,0))$

$r_3 = r_1 + 2r_3$

$((2,2,-1),(0,0,0),(0,0,-1))$

A questo punto hai tante strade, io scambierei $r_2$ ed $r_3$ e moltiplicherei $r_3$ per $-1$:

$((2,2,-1),(0,0,1),(0,0,0))$

In realtà non è necessario ridurre ulteriormente però in questo caso è abbastanza facile e veloce, scrivo tutti i passaggi per chiarezza, ma ci vuole più tempo a scrivere il tutto che a farlo:

$r_1 = r_1+r_2$

$((2,2,0),(0,0,1),(0,0,0))$

$((1,1,0),(0,0,1),(0,0,0))$

$\{(x+y=0),(z=0):}$

$\{(x=-t),(y=t),(z=0):}$ => $t[[-1],[1],[0]]$ => $E_A(-2)=\mathcal{L}{[(-1),(1),(0)]}$

Con $E_A(-2)$ intendo l'autospazio della matrice $A$ associato all'autovalore $-2$, ovviamente l'autovettore è $v_1=[[-1],[1],[0]]$

Lascio a te gli altri 2 autovalori

[SimoneSc1]

Sì fortunatamente ci ero riuscito da solo (ammetto che l'edit era ambiguo ), ma la tua risposta mi è comunque molto di aiuto in quanto è scritta in modo molto più rigoroso di quanto avessi fatto io.

Per quanto riguarda il secondo autovalore:

$ \lambda_2=+2-sqrt(2) $

$ A-\lambda_2= ((-2+sqrt(2),2,-1),(2,-2+sqrt(2),-1),(-1,-1,2-2+sqrt(2))) $

Riducendo con Gauss

$ ((1,0,-sqrt(2)/2),(0,1,-sqrt(2)/2),(0,0,0)) $

$ \{(x-sqrt(2)/2z=0),(y-sqrt(2)/2z=0):} $

$x = sqrt(2)/2z$
$y=sqrt(2)/2z$
$z=1$ Assegno a $z$ che è una variabile libera un valore arbitrario e determino dunque l'autovettore che è:

$ v_2=[[sqrt(2)/2],[sqrt(2)/2],[1]] $

Infine per quanto riguarda il terzo autovalore:

$ \lambda_3=+2+sqrt(2) $

$ A-\lambda_3 = ((-2-sqrt(2),2,-1),(2,-2-sqrt(2),-1),(-1,-1,2-2-sqrt(2))) $

Riducendo con Gauss

$ ((1,0,sqrt(2)/2),(0,1,sqrt(2)/2),(0,0,0)) $

$ \{(x+sqrt(2)/2z=0),(y+sqrt(2)/2z=0):} $

$x = -sqrt(2)/2z$
$y=-sqrt(2)/2z$
$z=1$

$ v_3=[[-sqrt(2)/2],[-sqrt(2)/2],[1]] $

Ecco qua! Vi prego di correggermi se ho fatto qualsiasi tipo di errori, anche il più stupido.. insomma siate intransigenti che ne ho bisogno
Se i calcoli dovessero essere giusti aggiungerò tutti i passaggi delle eliminazioni di Gauss cosicché i posteri possano capire bene tutto quanto.

Intanto vi ringrazio per l'aiuto e per la pazienza e vi auguro una buona serata.

[Bokonon]

Sono corretti ma non hai finito.
Devi normalizzarli.

[SimoneSc1]

Hai ragione, ecco qua:

La norma del primo autovettore: $v_1=(-1,1,0)$ è:

$sqrt((-1)^2+1^2+0^2) = sqrt(2)$
E quindi l'autovettore normalizzato è:
$(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0)$

La norma del secondo autovettore: $v_2 = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 1)$ è:

$sqrt((sqrt(2)/2)^2+ (sqrt(2)/2)^2 + 1^2) = sqrt(2)$
E quindi l'autovettore normalizzato è:
$(1/2, 1/2, 1/sqrt(2))$

La norma del terzo autovettore: $v_3 = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 1)$ è:

$sqrt((-sqrt(2)/2)^2+ (-sqrt(2)/2)^2 + 1^2) = sqrt(2)$
E quindi l'autovettore normalizzato è:
$(-1/2, -1/2, 1/sqrt(2))$

[SimoneSc1]

Buonasera, potreste dirmi quali sono dei modi per controllare che i risultati siano corretti?

[Obidream]

Beh hai scritto la condizione nel tuo primo post, penso sia l'unico modo per vedere che hai fatto tutto giusto:

"SimoneSc":trovare una matrice ortogonale $M$ tale che $M^(-1)AM$ sia diagonale.

[SimoneSc1]

Comunque ho controllato ed effettivamente la matrice $M^-1$ (che è l'inversa di $M$ e che ho calcolato facendo l'eliminazione di Gauss con a destra la matrice diagonale) moltiplicata per la matrice $A$ e moltiplicata a destra per la matrice $M$ che ci siamo calcolati insieme, dà la matrice diagonale .

Una cosa che però non ho capito è perché il mio professore in un esercizio analogo dove:

$ A= ((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)) $

si è trovato la matrice $M$

$M = ((sqrt(3)/3, -sqrt(2)/2, -sqrt(6)/6),(sqrt(3)/3, sqrt(2)/2, -sqrt(6)/6), (sqrt(3)/3, 0, -sqrt(6)/6))$ e poi accanto ha scritto una matrice di questo tipo:

$((3,,),(,0,),(,,0)) $
che cosa rappresenta?

Ho provato a vedere se era il prodotto tra $M^(-1)AM$ ma i calcoli non mi tornano. Inoltre a meno che non se la fosse preparata prima, ma il professore non si è messo a trovare la matrice inversa e a fare il prodotto tra matrici, ma al contrario l'ha scritta praticamente subito quindi deve essere qualcosa facile da calcolare, ma che al momento mi sfugge.

[Bokonon]

@SimoneSc
Controlla che i vettori trovati siano effettivamente autovettori (e quindi di non aver commesso errori di calcolo) usando semplicemente la definizione $Av=lambdav$