Data una curva (meccanica dei solidi)
Sto considerando un corpo rigido monodimensionale, curvo, quindi è sempre, credo, possibile creare un'ascissa curvilinea, siccome faccio fatica, volevo chiedervi, il versore tangente all'ascissa $s$, che chiamiamo $t(s)$ perchè è la derivata rispetto all'ascissa di un punto del corpo preso in considerazione?
Risposte
Si tratta precisamente della definizione di vettore tangente ad una curva regolare in un suo punto. Se \( \mathbf{r} = \mathbf{r}(t) \) è una mappa di classe \( C^{1}([a,b];\mathbb{R}^3) \) che parametrizza una curva regolare \( \Gamma := im(\mathbf{r}) \subset \mathbb{R}^3 \), allora il vettore \( \mathbf{t}(\mathbf{r}_0) \) tangente a \( \Gamma \) nel suo punto \( \mathbf{r}_0 := \mathbf{r}(t_0) \) è definito da
\[
\mathbf{t}(\mathbf{r}_0) := \frac{d \mathbf{r}}{dt} \bigg |_{t_0}.
\]
Questo vale per qualsiasi parametrizzazione, anche per quella in ascissa curvilinea, nel qual caso usiamo canonicamente la lettera \( s \) in luogo della \( t \) per denotare il parametro.
In merito alla domanda (implicita) se sia sempre possibile definire un'ascissa curvilinea su una curva parametrizzata qualsiasi... beh, a rigore la risposta è no. Il concetto di ascissa curvilinea è strettamente legato alla proprietà di una curva di essere rettificabile (detto in parole povere, alla proprietà di poter misurare la lunghezza dei suoi archi). Una condizione sufficiente alla rettificabilità di una curva parametrizzata definita su un intervallo \( [a,b] \) è che la parametrizzazione sia una mappa assolutamente continua su quell'intervallo: in particolare, curve di classe \( C^k \) con \( k \geq 1 \) sono sempre rettificabili, e quindi l'ascissa curvilinea è per esse sempre definibile.
\[
\mathbf{t}(\mathbf{r}_0) := \frac{d \mathbf{r}}{dt} \bigg |_{t_0}.
\]
Questo vale per qualsiasi parametrizzazione, anche per quella in ascissa curvilinea, nel qual caso usiamo canonicamente la lettera \( s \) in luogo della \( t \) per denotare il parametro.
In merito alla domanda (implicita) se sia sempre possibile definire un'ascissa curvilinea su una curva parametrizzata qualsiasi... beh, a rigore la risposta è no. Il concetto di ascissa curvilinea è strettamente legato alla proprietà di una curva di essere rettificabile (detto in parole povere, alla proprietà di poter misurare la lunghezza dei suoi archi). Una condizione sufficiente alla rettificabilità di una curva parametrizzata definita su un intervallo \( [a,b] \) è che la parametrizzazione sia una mappa assolutamente continua su quell'intervallo: in particolare, curve di classe \( C^k \) con \( k \geq 1 \) sono sempre rettificabili, e quindi l'ascissa curvilinea è per esse sempre definibile.
grazie mille 
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