Data <Immagine> e <Nucleo> ricavare matrice asso
Ciao ragazzi ho un dubbio su questo esercizio:
Io ho trovato una base dell'Imm che deve essere di dimensione 2 in quanto DimImm = DimV - DimKerF
(0,1,-1) e (1,0,-1).
Ora potrei mettere questi 2 vettori come colonne della matrice associata, ma mi manca la terza colonna! Cosa metto?
La definizione dell'immagine equivale a quella dell'applicazione lineare? Cioè f(x,y,z) = { (x,y,z) t.c. x+y+z = 0} ?
Io ho trovato una base dell'Imm che deve essere di dimensione 2 in quanto DimImm = DimV - DimKerF
(0,1,-1) e (1,0,-1).
Ora potrei mettere questi 2 vettori come colonne della matrice associata, ma mi manca la terza colonna! Cosa metto?
La definizione dell'immagine equivale a quella dell'applicazione lineare? Cioè f(x,y,z) = { (x,y,z) t.c. x+y+z = 0} ?
Risposte
ATTENZIONE!!!!!!!!, prima di tutto devi fissare una base di $R^3$, fissa quella canonica.
Ciò che ti serve dunque sono le immagini dei vettori $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.
Allora, sai che il vettore $(1,1,1)$ appartiene al kerf, dunque: $f(1,1,1)=(0,0,0)$.
Inoltre sai che l'immagine di f è generata da $(0,1,-1),(1,0,-1)$, il che significa che due vettori della base fissata hanno per immagine rispettivamente $(0,1,-1)$e $(1,0,-1)$; poniamo : $f(0,1,0)=(0,1,-1)$ e $f(0,0,1)=(1,0,-1)$.
Quindi, per poter applicare il teorema fondamentale sulle applicazioni lineari ti serve l'immagine di (1,0,0).
Ora, dalla definizione di base, puoi dedurre che qualunque un vettore dello spazio vettoriale affinchè appartenga a tale spazio, deve poter essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base stessa, dunque, scriviamo $(1,1,1)$ come combinazione lineare di $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.
Dunque:
$(1,1,1)=1(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,0,1)$
Ma sai che f deve essere una applicazione lineare e dunque puoi applicare la funzione f e sfruttare le proprietà che stanno alla base della definizione di applicazione lineare:
$f(1,1,1)=1f(1,0,0)+1f(0,1,0)+1f(0,0,1)$
Dunque, dato che $f(0,1,0)=(0,1,-1)$ , $f(0,0,1)=(1,0,-1)$ e $f(1,1,1)=(0,0,0)$:
$f(1,0,0)=(0,0,0)-(0,1,-1)-(1,0,-1)=(-1,-1,2)$.
Ora, per rappresentare tale applicazione, dato che lo devi fare nel riferimento canonico, non devi far altro che prendere le immagini dei vettori della base (in ordine) e metterli per colonna:
$ ( ( -1 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 2 , -1 , -1 ) ) $
A tal punto è facile trovare la tua applicazione lineare, non ti resta altro che porre: $X'=AX$, dove A è la matrice associata e X un generico vettore dello spaizo vettoriale(ovviamente in colonna), da cui:
$ ((x'),(y'),(z'))=( ( -1 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 2 , -1 , -1 ) )((x),(y),(z)) $
Svolgendo i prodotti:
$ ((x'),(y'),(z'))=((-x+z),(-x+y),(2x-y-z)) $
Ciò che ti serve dunque sono le immagini dei vettori $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.
Allora, sai che il vettore $(1,1,1)$ appartiene al kerf, dunque: $f(1,1,1)=(0,0,0)$.
Inoltre sai che l'immagine di f è generata da $(0,1,-1),(1,0,-1)$, il che significa che due vettori della base fissata hanno per immagine rispettivamente $(0,1,-1)$e $(1,0,-1)$; poniamo : $f(0,1,0)=(0,1,-1)$ e $f(0,0,1)=(1,0,-1)$.
Quindi, per poter applicare il teorema fondamentale sulle applicazioni lineari ti serve l'immagine di (1,0,0).
Ora, dalla definizione di base, puoi dedurre che qualunque un vettore dello spazio vettoriale affinchè appartenga a tale spazio, deve poter essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base stessa, dunque, scriviamo $(1,1,1)$ come combinazione lineare di $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.
Dunque:
$(1,1,1)=1(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,0,1)$
Ma sai che f deve essere una applicazione lineare e dunque puoi applicare la funzione f e sfruttare le proprietà che stanno alla base della definizione di applicazione lineare:
$f(1,1,1)=1f(1,0,0)+1f(0,1,0)+1f(0,0,1)$
Dunque, dato che $f(0,1,0)=(0,1,-1)$ , $f(0,0,1)=(1,0,-1)$ e $f(1,1,1)=(0,0,0)$:
$f(1,0,0)=(0,0,0)-(0,1,-1)-(1,0,-1)=(-1,-1,2)$.
Ora, per rappresentare tale applicazione, dato che lo devi fare nel riferimento canonico, non devi far altro che prendere le immagini dei vettori della base (in ordine) e metterli per colonna:
$ ( ( -1 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 2 , -1 , -1 ) ) $
A tal punto è facile trovare la tua applicazione lineare, non ti resta altro che porre: $X'=AX$, dove A è la matrice associata e X un generico vettore dello spaizo vettoriale(ovviamente in colonna), da cui:
$ ((x'),(y'),(z'))=( ( -1 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 2 , -1 , -1 ) )((x),(y),(z)) $
Svolgendo i prodotti:
$ ((x'),(y'),(z'))=((-x+z),(-x+y),(2x-y-z)) $
"biggest":
ATTENZIONE!!!!!!!!, prima di tutto devi fissare una base di $R^3$, fissa quella canonica.
[cut]
grazie sei stato gentilissimo, ora ho capito come fare l'esercizio
in cambio 2 canzoni che sto ascoltando mentre studio
http://www.youtube.com/watch?v=arctSLT1Wns
http://www.youtube.com/watch?v=xKDmi-CZmLM
"triptamina":
[quote="biggest"]ATTENZIONE!!!!!!!!, prima di tutto devi fissare una base di $R^3$, fissa quella canonica.
[cut]
grazie sei stato gentilissimo, ora ho capito come fare l'esercizio
in cambio 2 canzoni che sto ascoltando mentre studio
http://www.youtube.com/watch?v=arctSLT1Wns
http://www.youtube.com/watch?v=xKDmi-CZmLM[/quote]
[OT] E riesci a studiare con quelle canzoni?
[/OT]
Grazie, ma ti consiglio di ascoltare qualcosa di più rilassante 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo