Data funzione lineare trovare k

[ssoniaa1]

ciao a tutti,
avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio. l'esercizio dice:
data la funzione lineare f(x,y,z) = (x-2y+z , x-ky+2z) determinare k in modo che il ker(f) = {0} :
a) non esiste nessun valore di k
b) per k=0
c) per k=1
d) esistono infiniti valori di k

io ho messo a sistema x-2y+z e x-ky+2z ponendoli uguali a 0, ma come risultato trovo:
x=2y-z
z=(k-2)y
e quindi non saprei come risolvere l'esercizio.
grazie in anticipo
sonia

[fede_mat11]

Dunque devi procedere così:

considerato il tuo sistema:
$| (1, -2, 1),(1,-k,2)| $ * $|(x),(y),(z)|$ = $|(0),(0)|$

riduci a scalini la matrice dei coefficienti e dovrebbe venirti una matrice di questo tipo:
$| (1, -2, 1),(1,-k,2)| $ ---> $|(1,0, \frac{4-k}{2-k}),(0,1,\frac{1}{2-k})| $

a questo punto le soluzioni del sistema omogeneo (cioè i valori che ti danno zero se sostituiti a x,y,z nel sistema) sono:

$|(x),(y),(z)|$= $|(\frac{-4+k}{2-k}),(\frac{-1}{2-k}),(1)|$ * $t$

con $t\in \mathbb{R}$

E' evidente quindi che qualsiasi valore di k assegni le soluzioni del sistema omogeneo saranno sempre infinite e diverse dal solo vettore $(0,0,0)$ cioè la risposta è la a) non eiste nessun valore di k per cui la funzione è iniettiva.
Se per sicurezza vuoi fare qualche verifica ti basta vedere che
ad esempio posto $k=1$ e $t=1$ nella soluzione ho il vettore
$|(x),(y),(z)|$=$|(-3),(-1),(1)|$ che è soluzione del sistema ma anche con $k=1$ e $t=-1$ ne ho un'altra $|(3),(1),(-1)|$ ecc..