Data f, determinare base di ker(f) e Im(f)

[luciavirgi1]

Salve, mi sono trovato di fronte a questo esercizio e non saprei proprio come svolgerlo. Se avessi una matrice con dei numeri ne sarei capace, ma in questo caso no. Ve ne sarei grato se poteste indicarmi un metodo di risoluzione.
Sia $F=A+A^t$ per ogni $A in M_2(RR)$:
Determinare una base di $ker(f)$ e una base di $Im(f)$.
Grazie in anticipo

[Peter Pan1]

Ciao
Forse in questo caso non importa avere una matrice numerica per risolvere l'esercizio. Puoi fare anche senza. Sai che nel $ kerF $ ci stanno i vettori tali che $ F(A)=0=A+A^trArrA=-A^t $. Le matrici che sono uguali all'opposto della trasposta sono le matrici antisimmetriche che nel caso di matrici 2x2 hanno dimensione 1. Così il $ dimkerF=1 $ e una sua base può essere $ ((0,-1),(1,0)) $. L'immagine, data una certa matrice $ A $ è data dalla somma di $ A+A^t $ che è una matrice simmetrica costruita a partire da $ A $. La dimensione di questo spazio è 3 e una base è $ {((1,0),(0,0)),((0,1),(1,0)),((0,0),(0,1))} $.
Se vuoi poi ti scrivo anche il metodo con la matrice.

[luciavirgi1]

Ti ringrazio. Se mi scrivessi anche il metodo con la matrice te ne sarei grato

[Peter Pan1]

Ciao
se vuoi costruire la matrice prendi un base di $ M_2(matbb(R)) $(esempio la canonica). Hai che:
$ F(((1,0),(0,0)))=((2,0),(0,0)) $
$ F(((0,1),(0,0)))=((0,1),(1,0)) $
$ F(((0,0),(1,0)))=((0,1),(1,0)) $
$ F(((0,0),(0,1)))=((0,0),(0,2)) $
Adesso metti le coordinate dei vettori rispetto alla base canonica come colonne della matrice.
$ ((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2)) $
Se riduci a scalini trovi che una base dell'immagine è data dalla prima, seconda e quarta colonna che rimesse sottoforma di matrici danno quelle già trovate(a parte il 2 ma non è importante).
Se vuoi il nucleo risolvi il sistema omogeneo che ha per coefficienti gli elementi della matrice e avrai la stessa base di prima.

[luciavirgi1]

Va benissimo. Grazie mille