Da un sistema di generatori sempre una base

[Edex1]

Dato uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e un sistema di generatori $A = {v_1,...,v_n}$ di $V$, sia $B$ un insieme massimale in $A$ allora $B$ è una base di $V$.

Stavo cercando di dare una dimostrazione diversa da quella che dà il libro:

Se per assurdo l'insieme $B$ non fosse un insieme di generatori allora dovrebbe esistere $v in V$ che non si può scrivere come combinazione lineare degli elementi di $B$. Poichè $A$ è un sistema di generatori $EE a_1,...,a_n in K$ t.c. $v = a_1v_1 + ... +a_nv_n$ e quindi $v in A$. Quindi ho trovato un elemento di $A$ che non può essere scritto come combinazione lineare degli elementi di $B$ e quindi l'insieme $B uu v$ è formato da vettori linearmente indipendenti, ma ciò è assurdo perchè $B$ è un insieme massimale.
Ne segue che $B$ deve essere anche un sistema di generatori e quindi una base.

Fila?

[Pappappero1]

Quasi...nel tuo argomento non c'è nessuna ragione per cui $v$ sia un vettore di $A$. Preso $B$ un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti (andrebbe specificato) in $A$, supponi che ci sia un altro vettore in $A$ che non può essere scritto come combinazione lineare degli elementi di $B$. In questo modo dovrebbe funzionare.

Comunque questa dimostrazione credo sia più facile se letta alla rovescia. Prendi in $A$ un insieme minimale di generatori e fai vedere che sono linearmente indipendenti...