Da parametriche a cartesiane

[Edex1]

Salve a tutti ragazzi,
oggi stavo rileggendo gli appunti di algebra e mi è venuto un dubbio che mi riesce più facile spiegarvi con un esempio:
Sia $\pi$ il piano di equazione vettoriale:

$[(x_1),(x_2),(x_3)] = [(1),(0),(-1)] + t[(1),(1),(2)] + s[(3),(1),(-1)]$

Passando all'equazione cartesiana otteniamo: $3x_1-7x_2+2x_3-1 = 0$.
I passaggi che facciamo per arrivare a quest'equazione sono tutti reversibili tranne (teoricamente) l'ultimo:

${ ( 3x_1-7x_2+2x_3-1 = 0 ),(x_1 - x_2 = 1 + 2s),( x_3 - 2x_2 = -1 -3s):} rarr 3x_1-7x_2+2x_3-1 = 0$

Quando chiesi al professore se in realtà al posto della freccia singola ci andasse il la doppia implicazione lui rispose di sì e anche da questo esempio in effetti si vede che c'è la doppia implicazione.
La mia domanda è: come si dimostra questa doppia implicazione?

Non riesco a venirne fuori perchè in realtà se si tralasciano delle equazioni c'è la possibilità di aggiungere delle soluzioni, però ciò non avviene. Come mai?

Grazie in anticipo!

[Edex1]

Nessuno?
Magari è una domanda stupida, però non riesco a uscirne.
Ho notato trovare le equazioni parametriche corrisponde a trovare le equazioni del sottospazio vettoriale generato dai due vettori direttori del piano e poi cambiare il termine noto dell'equazioni in modo che il punto che abbiamo soddisfi l'equazione, ma perchè procedendo nell'altro modo ('eliminando' t ed s dalle equazioni parametriche attraverso il sistema) si ottiene la stessa equazione? Si dimostra come cosa o è normale, diciamo ovvia?

Grazie ancora