Da forma parametrica a cartesiana di una retta

[fumandre]

salve a tutti ho una semplice domanda: come trasformo l'equazione di una retta da parametrica a cartesiana?
esempio

r: $ { ( x = 1+t ),( y = -2t ),( z = 1+t ):} $

come faccio a ricavarmela in forma cartesiana?

[byob12]

devi semplicemente "eliminare" il parametro:da una delle 3 equazioni parametriche ricavi t e lo sostituisci dentro le altre 2 equazioni.
non esiste un'unica rappresentazione in forma cartesiana, ma ce ne sono infinite.

[fra e ste]

una retta scritta in forma cartesiana è formata dall'intersezione di due piani. come ha detto byob12 devi semplicemente ricavare la t nelle 3 equazioni e poi assemblarle in modo da formare due piani. in questo caso visto che l'esercizio è molto semplice possiamo ricavare t nella prima equazione e scrivere $ t = x-1 $ e poi sostituire la t nelle altre due, in questo modo avrai: $ r: { ( y= -2 ** (x-1) ),( z = 1 + (x-1) ):} $
tutto qui..
ciao

[indovina]

"byob12":non esiste un'unica rappresentazione in forma cartesiana, ma ce ne sono infinite.

C'è una dimostrazione teorica per quello che affermi tu?

[dissonance]

Pensaci un attimo da solo clever, e trova un esempio. Magari prendi un caso concreto, che so, la retta in $RR^2$

$y=x$.

Questa data è l'unica equazione della retta? Secondo me, no, ce ne sono altre. Trovane una.

[indovina]

ci tento:
${(y=t),(x=t):}

dunque potrebbe essere tipo l'intersezione tra questi due piani
${(y-3=0),(x-3=0):}

potrebbe andare?

[byob12]

"clever":[quote="byob12"]non esiste un'unica rappresentazione in forma cartesiana, ma ce ne sono infinite.

C'è una dimostrazione teorica per quello che affermi tu?[/quote]
beh la forma cartesiana di una retta nello spazio non è altro che l'intersezioni di 2 piani nello spazio.
come ben noto dalla geometria per una retta nello spazio passano infiniti piani (è un fascio di piani e la retta è il sostegno di tale fascio).
tra gli infiniti piani del fascio per individuare la retta ne bastano 2 distinti tra loro (che puoi scegliere arbitrariamente tra gli inifiniti piani).

anche per la forma parametrica vale un discorso analogo.
la rappresentazione parametrica è del tipo:
${(x = alpha + A*t),(y = beta + B*t),(z = gamma + C*t):}$
il punto di coordinate $(alpha,beta,gamma)$ è un punto della retta;ora puoi riscrivere una nuova rappresentazione parametrica (diversa dalla precedente) usando al posto di $(alpha,beta,gamma)$ le coordinate di un altro punto della retta.
essendo infiniti i punti della retta,puoi scrivere infinite rappresentazioni parametriche della retta (diverse tra loro ma equivalenti).