Da cartesiana ad una equazione parametrica
salve ragazzi sono disperato, avrei bisogno del vostro aiuto su un esercizio,
l'esercizio mi dice
IN R^3 siano dati i punti
A(1,2,0) e B(2,0,3) C(1,1,0)
trovare la retta r passante per A,B.
la retta s di equazioni
x-z=0
y-z=0
scrivere le equazioni parametriche di r e s.
per la prima parte ci riesco faccio T=B-A e trovo il vettore direttore quindi la retta è B -T
ma non riesco a trovare la retta parametrica di s, cioè io avevo pensato di dare alla z=t e sostituendo mi esce x=t, y=t e z=t per poi non saprei cosa fare, per favore qualcuno che mi aiuti
l'esercizio mi dice
IN R^3 siano dati i punti
A(1,2,0) e B(2,0,3) C(1,1,0)
trovare la retta r passante per A,B.
la retta s di equazioni
x-z=0
y-z=0
scrivere le equazioni parametriche di r e s.
per la prima parte ci riesco faccio T=B-A e trovo il vettore direttore quindi la retta è B -T
ma non riesco a trovare la retta parametrica di s, cioè io avevo pensato di dare alla z=t e sostituendo mi esce x=t, y=t e z=t per poi non saprei cosa fare, per favore qualcuno che mi aiuti
Risposte
"matteo19933":
salve ragazzi sono disperato, avrei bisogno del vostro aiuto su un esercizio,
l'esercizio mi dice
IN R^3 siano dati i punti
A(1,2,0) e B(2,0,3) C(1,1,0)
trovare la retta r passante per A,B.
la retta s di equazioni
x-z=0
y-z=0
scrivere le equazioni parametriche di r e s.
per la prima parte ci riesco faccio T=B-A e trovo il vettore direttore quindi la retta è B -T
ma non riesco a trovare la retta parametrica di s, cioè io avevo pensato di dare alla z=t e sostituendo mi esce x=t, y=t e z=t per poi non saprei cosa fare, per favore qualcuno che mi aiuti
La retta nello spazio passante per 2 punti, in forma parametrica, è
$\{(x=x_a + t(x_b - x_a)),(y=y_a + t(y_b - y_a)),(z=z_a + t(z_b - z_a)):}$
Data la retta s: $\{(x-z=0),(y-z=0):}$ , per trovare l'equazione parametrica di s devi assegnare il valore t a una variabile, ad sempio $x=t$
Così il sistema diventa:
$\{(x-z=0),(y-z=0),(x=t):}$ -> $\{(z=t),(y=t),(x=t):}$
che è l'equazione parametrica della retta s.
[nota]Cerca di scrivere in modo più curato il testo dei tuoi esercizi, leggi il regolamento della sezione (QUI)[/nota]
Ah perfetto allora questa parte l ho fatta giusta, però dopo la secondo domanda mi chiede di determinare la posizione reciproca di r e s, e non capisco bene come fare, devo considerare solo i due vettori direttori?
Comunque grazie mille, e scusami se non l ho scritto bene.
Comunque grazie mille, e scusami se non l ho scritto bene.
"matteo19933":
[...]la secondo domanda mi chiede di determinare la posizione reciproca di r e s, e non capisco bene come fare, devo considerare solo i due vettori direttori?
Per prima cosa è utile vedere se le due rette sono complanari attraverso il calcolo del determinante:
date le rette $ \mathcal(R), \mathcal(S), $
$ \mathcal(R) \{(x=x + lt),(y=y +mt),(z=z + nt):} $ ; $ \mathcal(S) \{(x=x' + l' t),(y=y' + m' t),(z=z' + n't):} $
calcoliamo il seguente determinante:
$ | ( x'-x , y'-y , z'-z ),( l , m , n ),( l' , m' , n' ) | $
se tale $det=0$, allora le rette sono complanari, altrimenti sono sghembe.
Nel caso in cui siano complanari, calcoliamo il rango della seguente matrice:
$ ( ( l , m , n ),( l' , m' , n' ) ) $, se esso è uguale a 1 le rette sono parallele, altrimenti sono incidenti.
capito, grazie mille, a noi il prof. aveva spiegato che dovevamo vedere i vettori direttori quando erano parametriche, e se i vettori erano proporzionali allora le rette erano parallele altrimenti fare il sistema per vedere se avevano un punto in comune e quindi incidenti altrimenti erano sghembe, non so se sia sbagliato cosi?
"matteo19933":
capito, grazie mille, a noi il prof. aveva spiegato che dovevamo vedere i vettori direttori quando erano parametriche, e se i vettori erano proporzionali allora le rette erano parallele altrimenti fare il sistema per vedere se avevano un punto in comune e quindi incidenti altrimenti erano sghembe, non so se sia sbagliato cosi?
Sorvolando il controllo della complanarità, il resto coincide; infatti, avendo due rette come nel mio post precedente, si ha che:
esse sono parallele se:
$ (l, m, n) prop (l', m', n') hArr r( ( l , m , n ),( l' , m' , n' ) )=1 $
Se invece $ (l, m, n), (l', m', n')$ non sono proporzionali $ rArr r( ( l , m , n ),( l' , m' , n' ) )=2 $, pertanto le due rette potrebbero (in quanto non è stata precedentemente effettuata la verifica dalla complanarità delle rette medesime) essere incidenti: per verificarlo basta fare il sistema e vedere se hanno un punto in comune.
Se il sistema è incompatibile allora le due rette sono sghembe e ciò lo possiamo ben dire grazie al seguente teorema:
"due rette sono complanari se e solo se sono parallele o sono incidenti".
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