Da applicazione lineare a matrice
sia f: R3 -> R3 l'applicazione lineare definita ponendo
f ( $ (( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $ ) = $ (( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) $ , f $ (( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ = $ (( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $
f $ (( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ = $ (( 1 ),( 3 ),( 2 ) ) $
si scriva la matrice A = C[f]C rispetto alla base canonica, e si spieghi perchè l'applicazione f è definita dalle condizioni precedenti.
scusate se non scrivo nient'altro ma non so da dove partire!
f ( $ (( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $ ) = $ (( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) $ , f $ (( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ = $ (( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $
f $ (( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ = $ (( 1 ),( 3 ),( 2 ) ) $
si scriva la matrice A = C[f]C rispetto alla base canonica, e si spieghi perchè l'applicazione f è definita dalle condizioni precedenti.
scusate se non scrivo nient'altro ma non so da dove partire!
Risposte
Vediamo di ragionare, come giustificheresti che come così definita $f$ è lineare?
"Kashaman":
Vediamo di ragionare, come giustificheresti che come così definita $f$ è lineare?
verificando le 2 proprietà? ma come??
@Kashaman: La tua domanda è mal posta. Io direi piuttosto "come giustificheresti che una $f$ lineare è ben definita da quelle condizioni che vengono assegnate?". La linearità è data, non è da giustificare.
@zompetta: Esiste un teorema che stabilisce l'esistenza e l'unicità di un'applicazione lineare quando si assegnino le immagini dei vettori di una base dello spazio vettoriale dominio tramite $f$.
@zompetta: Esiste un teorema che stabilisce l'esistenza e l'unicità di un'applicazione lineare quando si assegnino le immagini dei vettori di una base dello spazio vettoriale dominio tramite $f$.
l'esercizio chiede proprio questo...ed è questo che non so fare
Ho aggiunto una nota nel post precedente.
"Seneca":
Ho aggiunto una nota nel post precedente.
scusa come si chiama questo teorema?
Nella letteratura non saprei dirti se ha un nome. Io l'ho sempre chiamato teorema di determinazione di un'applicazione lineare su una base.
scusami ho provato a cercare come si procede per determinare con questo teorema..ma non ho trovato niente..! potresti dirmi come posso fare? o in cosa consiste questo teorema? grazie
Te l'ho già enunciato, in sostanza.
Teorema. Siano $V, W$ spazi vettoriali e $dim(V) = n$. Allora, presa $v_1 , ... , v_n$ una base di $V$ e $w_1 , ... , w_n$ $n$ vettori dello spazio di arrivo $W$, esiste ed è unica un'applicazione lineare $f : V -> W$ tale che $f(v_i) = w_i$, per $i = 1, ... , n$.
Teorema. Siano $V, W$ spazi vettoriali e $dim(V) = n$. Allora, presa $v_1 , ... , v_n$ una base di $V$ e $w_1 , ... , w_n$ $n$ vettori dello spazio di arrivo $W$, esiste ed è unica un'applicazione lineare $f : V -> W$ tale che $f(v_i) = w_i$, per $i = 1, ... , n$.
ma questa non è la definizione di applicazione lineare?? ...comunque continuo a non capire come si può applicare questo teorema all'esercizio... :S
Ciao, se l'applicazione è lineare sfrutta la linearità! 
Significa che$$
f(\alpha v + \beta w) = \alpha f(v) + \beta f(w)
$$Prendiamo la prima relazione: $f((0), (1), (1)) = ((1), (1), (0))$. La puoi vedere come$$
f(e_2) + f(e_3) = e_1 + e_2
$$Fai la stessa cosa con le altre e ricavi $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ che, affiancate, ti danno la tua matrice.
Significa che$$
f(\alpha v + \beta w) = \alpha f(v) + \beta f(w)
$$Prendiamo la prima relazione: $f((0), (1), (1)) = ((1), (1), (0))$. La puoi vedere come$$
f(e_2) + f(e_3) = e_1 + e_2
$$Fai la stessa cosa con le altre e ricavi $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ che, affiancate, ti danno la tua matrice.
ok ho provato e mi è uscita questa matrice: $ ( ( 0 , 1 , 0 ),( -1 , 3 , -2 ),( 0 , 2 , -2 ) ) $
è giusta??
è giusta??
E' sbagliata la prima colonna che viene $((0), (-1), (-1))$.
ho rifatto i calcoli e nella prima colonna ora mi viene [0 ,-2 ,-1] 
li ho rifatti di nuovo e ora viene!!!:D grazie mille!!! 
"zompetta":
li ho rifatti di nuovo e ora viene!!!:D grazie mille!!!
Perfetto!
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