$d$ metrica $=> d'$ metrica?

[nato_pigro1]

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Allora anche $(X,d')$ è uno spazio metrico con $d'=d/1+d$

Devo dimostrare che $d'$ è una metrica, la cosa complicata è dimostrare la diseguaglianza triangolare.
Ieri ci ho passato un po' di tempo a provare con passaggi algebrici ma non ci sono riuscito, stamattina a lezione ho scoperto che è un caso particolare di una proposizione che fa intervenire una funzione con certe proprietà.

Ora mi è comunque rimasta la curiosità: si può dimostrare con passaggi algebrici (maggiorazioni, ecc...)?

[ViciousGoblin]

"nato_pigro":Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Allora anche $(X,d')$ è uno spazio metrico con $d'=d/1+d$

Devo dimostrare che $d'$ è una metrica, la cosa complicata è dimostrare la diseguaglianza triangolare.
Ieri ci ho passato un po' di tempo a provare con passaggi algebrici ma non ci sono riuscito, stamattina a lezione ho scoperto che è un caso particolare di una proposizione che fa intervenire una funzione con certe proprietà.

Ora mi è comunque rimasta la curiosità: si può dimostrare con passaggi algebrici (maggiorazioni, ecc...)?

$d'=d/1+d=2d$ ????? (va beh che sei nato pigro ... ) Sospetto fosse $d'=d/(1+d)$.

Se e' cosi' io avrei notato che $x\mapsto x/(1+x)$ e' crescente (il modo piu' facile e' con la derivata ma se vuoi si puo' provare a farlo a mano) e quindi

$d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x.y)}\leq\frac{d(x,z)+d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}=\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)+d(z,y)}+\frac{d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}\leq\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)}+\frac{d(z,y)}{1+d(z,xy)}=d'(x,z)+d'(z,y)$

(dove l'ultima disugualginanza usa il fatto che diminuendo il demoninatore la frazione cresce)

[nato_pigro1]

si era $d'=d/(1+d)$.

grazie per la risposta, ma non era quello che cercavo: il tuo medoto e quello che mi hanno insegnato a lezione si appoggiano all'analisi per concludere (crescenza di funzioni). La mia curiosità era di trovare una strada elementare, algebrica, che sonsistesse solo in sostituzioni e maggiorazioni...

[ViciousGoblin]

"nato_pigro":si era $d'=d/(1+d)$.

grazie per la risposta, ma non era quello che cercavo: il tuo medoto e quello che mi hanno insegnato a lezione si appoggiano all'analisi per concludere (crescenza di funzioni). La mia curiosità era di trovare una strada elementare, algebrica, che sonsistesse solo in sostituzioni e maggiorazioni...

E allora dimostriamo che se $0\leq x $x/(1+x)
e poi facciamo come indicato in precedenza.