Curve regolari non semplici

[DavideGenova1]

Ciao, amici! So che, chiamato \(\mathbf{J}\subset\mathbb{R}\) un intervallo, una curva regolare \(\alpha:\mathbf{J}\to\mathbb{R}^N\) di sostegno $S$ è un'immersione, di differenziale \(\alpha_{\ast t}:T_t(\mathbf{J})\to T_{\alpha(t)}(\mathbb{R}^N)\) iniettivo, ma non necessariamente una curva regolare è semplice*.
So anche che se il morfismo di varietà differenziabili \(f:X\to Y\) ha il differenziale \(f_{\ast x}\) che è un isomorfismo in \(x\in X\) allora $f$ è un diffeomorfismo locale in $x$.
Restringo il codominio di \(\alpha\) ad \(\alpha(\mathbf{J})=S\) definendo l'applicazione \(\tilde{\alpha}:\mathbf{J}\to S=\alpha(\mathbf{J})\) tale che \(\forall t\in\mathbf{J}\text{ }\tilde{\alpha}(t)=\alpha(t)\). Naturalmente \(\tilde{\alpha}\) è sempre regolare con differenziale \(\tilde{\alpha}_{\ast t}:T_t(\mathbf{J})\to T_{\alpha(t)}(S)\) iniettivo e suriettivo, $\tilde{\alpha}$ è quindi, direi, un morfismo di varietà differenziabili con differenziale che è un isomorfismo in ogni \(t\), perciò mi sembrerebbe un diffeomorfismo locale.
Qui mi accorgo di aver ragionato male: se la curva \(\alpha\) non è semplice, in un punto \(\alpha(t_1)\) in cui interseca se stessa come può essere un diffeomorfismo locale (o anche solo un omeomorfismo locale) visto che a due diversi $t_1,t_2$ del dominio corrisponde lo stesso \(\alpha(t_1)=\alpha(t_2)\)? Ovviamente sto sbagliando qualcosa...
Mi sto perdendo sicuramente in un bicchier d'acqua...
Qualcuno sarebbe così buono da lanciarmi un salvagente?
\(\infty\) grazie!!!

*Un esempio che mi viene in mente di una curva regolare che interseca se stessa è \(\alpha:(0,5\pi)\to \mathbb{R}^2,\alpha(t)=(\cos t,\sin t)\)

[apatriarca]

Avere un diffeomorfismo locale in ogni punto non implica l'esistenza di un diffeomorfismo globale.

[Maci86]

Non per nulla nelle cartine la Groenlandia è enorme! Cit.Nec.

[DavideGenova1]

Grazie, ragazzi, per avermi fatto capire quanto sono pirla!
I diffeomorfismi inversi delle opportune restrizioni di \(\tilde{\alpha}\) che sono diffeomorfismi locali hanno per codominio un intervallo contenente solo uno dei due $t_1,t_2$!
$\infty$ grazie ancora!!!