Curve proiettive: come trovare le tangenti principali
Ciao a tutti,
sto studiando le curve algebriche affini e proiettive ma ho delle difficoltà per quanto riguarda il calcolo delle tangenti principali in un punto singolare.
Sto svolgendo lo studio di questa curva nel piano affine:
\begin{equation}
(x-y)^3 + x^2 - y^2 - 4x = 0
\end{equation}
In particolare devo studiarne l'origine e i punti impropri.
Per quanto riguarda l'origine, ho trovato che è un punto semplice e che la sua unica retta tangente è $x=0$.
L'unico punto improprio è $[0:1:1]$, di molteplicità 2 in quanto si annullano tutte le derivate parziali del prim'ordine ma non tutte quelle di secondo.
Non so però quale sia il metodo per trovare le tangenti principali in questo punto.
Qualcuno sa darmi un aiuto?
Grazie mille!
sto studiando le curve algebriche affini e proiettive ma ho delle difficoltà per quanto riguarda il calcolo delle tangenti principali in un punto singolare.
Sto svolgendo lo studio di questa curva nel piano affine:
\begin{equation}
(x-y)^3 + x^2 - y^2 - 4x = 0
\end{equation}
In particolare devo studiarne l'origine e i punti impropri.
Per quanto riguarda l'origine, ho trovato che è un punto semplice e che la sua unica retta tangente è $x=0$.
L'unico punto improprio è $[0:1:1]$, di molteplicità 2 in quanto si annullano tutte le derivate parziali del prim'ordine ma non tutte quelle di secondo.
Non so però quale sia il metodo per trovare le tangenti principali in questo punto.
Qualcuno sa darmi un aiuto?
Grazie mille!
Risposte
Vi sono due metodi.Per prima cosa uso il simbolo [z:x:y] per indicare un punto del piano proiettivo
e quindi, omogeneizzando l'equazione della curva C, essa diventa :
(1) $(x-y)^3+x^2z-y^2z-4xz^2=0$
(A) Metodo delle derivate parziali seconde
L'equazione complessiva delle tangenti principali ad una curva algebrica C nel punto doppio P[z:x:y] è:
$f_{x x}(P)x^2+f_{yy}(P)y^2+f_{zz}(P)z^2+2f_{xy}(P)xy+2f_{xz}(P)xz+2f_{yz}(P)yz=0$
dove $f(x,y,z)$ è il primo membro della (1) ed il simbolo $f_{uw}(P)$ indica la derivata seconda
di f rispetto ad $u$ prima e a $w$ dopo, calcolata nel punto P.
Tenuto conto che nel nostro caso è $P[0:1:1]$ e facendo le opportune derivazioni,si trova
che le tangenti principali a C nel punto P ( ovvero quelle tangenti che hanno un contatto (almeno)
tripunto con C) hanno le seguenti equazioni (in coordinate proiettive) :
$t_1: z=0,t_2: x-y-2z=0$
(B) Metodo della carta affine
E' noto che, se una curva algebrica C ha un punto multiplo nell'origine, allora l'equazione complessiva
delle tangenti principali in tale punto si ottiene semplicemente ponendo a zero il complesso dei termini
di grado più basso dell'equazione di C.
Nel nostro caso si rende quindi necessario portare il punto $[0:1:1]$ nell'origine $[1:0:0]$
Questa operazione si può fare con la carta affine:
(2)$z->z/x,x->x/x=1,y->y/x$
In tal modo si passa dal punto$[0:1:1]$ al punto $[z]=[0:1]$ e la (1) diventa :
(3) $(1-y)^3+z-y^2z-4z^2=0$
Adesso bisogna portare la y a zero in modo che il punto $[0:1]$ diventi $[0:0]$. Poniamo allora :
(4) $y=1-u$
e la (3) diventa :
$u^3+z-z(1-u)^2-4z^2=0$
Ovvero :
$u^3+2uz-zu^2-4z^2=0$
Annullando il complesso dei termini di grado più basso abbiamo l'equazione :
$2uz-4z^2=0$
che si spezza in :
$z=0, u-2z=0$
che in base alla (4) diventano:
$z=0,1-y-2z=0$
Per le (2) queste ultime relazioni diventano:
$z/x=0,1-y/x-2z/x=0$
da cui infine :
$z=0,x-y-2z=0$
che sono le equazioni delle due tangenti principali richieste.
e quindi, omogeneizzando l'equazione della curva C, essa diventa :
(1) $(x-y)^3+x^2z-y^2z-4xz^2=0$
(A) Metodo delle derivate parziali seconde
L'equazione complessiva delle tangenti principali ad una curva algebrica C nel punto doppio P[z:x:y] è:
$f_{x x}(P)x^2+f_{yy}(P)y^2+f_{zz}(P)z^2+2f_{xy}(P)xy+2f_{xz}(P)xz+2f_{yz}(P)yz=0$
dove $f(x,y,z)$ è il primo membro della (1) ed il simbolo $f_{uw}(P)$ indica la derivata seconda
di f rispetto ad $u$ prima e a $w$ dopo, calcolata nel punto P.
Tenuto conto che nel nostro caso è $P[0:1:1]$ e facendo le opportune derivazioni,si trova
che le tangenti principali a C nel punto P ( ovvero quelle tangenti che hanno un contatto (almeno)
tripunto con C) hanno le seguenti equazioni (in coordinate proiettive) :
$t_1: z=0,t_2: x-y-2z=0$
(B) Metodo della carta affine
E' noto che, se una curva algebrica C ha un punto multiplo nell'origine, allora l'equazione complessiva
delle tangenti principali in tale punto si ottiene semplicemente ponendo a zero il complesso dei termini
di grado più basso dell'equazione di C.
Nel nostro caso si rende quindi necessario portare il punto $[0:1:1]$ nell'origine $[1:0:0]$
Questa operazione si può fare con la carta affine:
(2)$z->z/x,x->x/x=1,y->y/x$
In tal modo si passa dal punto$[0:1:1]$ al punto $[z]=[0:1]$ e la (1) diventa :
(3) $(1-y)^3+z-y^2z-4z^2=0$
Adesso bisogna portare la y a zero in modo che il punto $[0:1]$ diventi $[0:0]$. Poniamo allora :
(4) $y=1-u$
e la (3) diventa :
$u^3+z-z(1-u)^2-4z^2=0$
Ovvero :
$u^3+2uz-zu^2-4z^2=0$
Annullando il complesso dei termini di grado più basso abbiamo l'equazione :
$2uz-4z^2=0$
che si spezza in :
$z=0, u-2z=0$
che in base alla (4) diventano:
$z=0,1-y-2z=0$
Per le (2) queste ultime relazioni diventano:
$z/x=0,1-y/x-2z/x=0$
da cui infine :
$z=0,x-y-2z=0$
che sono le equazioni delle due tangenti principali richieste.
Scusa il ritardo e grazie mille per la tua risposta!
Il secondo metodo mi è chiaro, avevo intuito qualcosa del genere ma non ero certa che funzionasse..
Il primo metodo vale con le opportune modifiche nel caso di un punto singolare di molteplicità m qualsiasi?
Grazie ancora!
Il secondo metodo mi è chiaro, avevo intuito qualcosa del genere ma non ero certa che funzionasse..
Il primo metodo vale con le opportune modifiche nel caso di un punto singolare di molteplicità m qualsiasi?
Grazie ancora!
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