Curve problema dimostrazione
Sto studiando una proposizione sulle curve, ma, sarà forse un particolare stupido, non riesco a capire un passaggio (che è un pò la parte centrale di tutto!).
Proposizione: Siano $C^n$ curva algebrica irriducibile.
$C^n$ ammette al più $((n-2)(n-1))/2$ punti doppi.
Dimostrazione:$n=1,2$ è banalmente provata.
Sia allora $n>=3$ e supponiamo per assurdo che ammetta $((n-2)(n-1))/2 +1$ punti doppi. Scegliamo $n-3$ punti semplici.
In totale abbiamo allora $((n-2)(n-1))/2+1+(n-3)=((n-2)(n+1))/2$ punti.
Sappiamo che una $C^n$ è individuata da $n(n+3)/2$ punti. Quindi una $C^(n-2)$ è individuata da $((n-2)(n-1))/2$.
Contiamo allora le intersezioni tra la $C^n$ e la $C^(n-2)$. Esse sono $2$ in ogni punto doppio ed $1$ in ogni punto semplice, da cui abbiamo $(n-2)(n-1)+1+n-3=n(n-2)+1$. Per il th. di Bezout allora hanno una componente in comune e quindi $C^n$ è riducibile. Assurdo!
La dimostrazione è tutta chiara, non riesco a capire come ha fatto a contare le intersezioni...
Ci sarà qualche conto che mi è sfuggito, ma proprio non riesco a capire.
Grazie mille per l'aiuto!
Proposizione: Siano $C^n$ curva algebrica irriducibile.
$C^n$ ammette al più $((n-2)(n-1))/2$ punti doppi.
Dimostrazione:$n=1,2$ è banalmente provata.
Sia allora $n>=3$ e supponiamo per assurdo che ammetta $((n-2)(n-1))/2 +1$ punti doppi. Scegliamo $n-3$ punti semplici.
In totale abbiamo allora $((n-2)(n-1))/2+1+(n-3)=((n-2)(n+1))/2$ punti.
Sappiamo che una $C^n$ è individuata da $n(n+3)/2$ punti. Quindi una $C^(n-2)$ è individuata da $((n-2)(n-1))/2$.
Contiamo allora le intersezioni tra la $C^n$ e la $C^(n-2)$. Esse sono $2$ in ogni punto doppio ed $1$ in ogni punto semplice, da cui abbiamo $(n-2)(n-1)+1+n-3=n(n-2)+1$. Per il th. di Bezout allora hanno una componente in comune e quindi $C^n$ è riducibile. Assurdo!
La dimostrazione è tutta chiara, non riesco a capire come ha fatto a contare le intersezioni...
Ci sarà qualche conto che mi è sfuggito, ma proprio non riesco a capire.
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
Visto che -credo- abbiamo gli stessi appunti, provo a risponderti io.
Innanzitutto qui c'è un segno $-$ mentre dovrebbe essere $+$
Dovrebbe essere $C^{n-2}$ individuata da $((n-2)(n+1))/2$ punti.
I punti in comune fra $C^n$ e $C^{n-2}$ sono:
$((n-2)(n-1))/2+1$ contati due volte perchè sono doppi,
$n-3$ contati una sola volta.
cioè
$2\cdot( ((n-2)(n-1))/2+1)+n-3=(n-2)(n-1)+2+n-3=n(n-2)+1$
Innanzitutto qui c'è un segno $-$ mentre dovrebbe essere $+$
"mistake89":
Sappiamo che una $C^n$ è individuata da $n(n+3)/2$ punti. Quindi una $C^(n-2)$ è individuata da $((n-2)(n-1))/2$.
Dovrebbe essere $C^{n-2}$ individuata da $((n-2)(n+1))/2$ punti.
I punti in comune fra $C^n$ e $C^{n-2}$ sono:
$((n-2)(n-1))/2+1$ contati due volte perchè sono doppi,
$n-3$ contati una sola volta.
cioè
$2\cdot( ((n-2)(n-1))/2+1)+n-3=(n-2)(n-1)+2+n-3=n(n-2)+1$
grazie cirasa per la risposta e per la correzione.
Quello che non capisco io è come facciamo a dire che sono esattamente quelli i punti in comune? Chi ci assicura che non siano di meno? E' questo il passaggio che non riesco ad afferrare (può darsi che sia tutto scritto lì ma non mi si accende la lampadina
).
Grazie mille!
Quello che non capisco io è come facciamo a dire che sono esattamente quelli i punti in comune? Chi ci assicura che non siano di meno? E' questo il passaggio che non riesco ad afferrare (può darsi che sia tutto scritto lì ma non mi si accende la lampadina
).Grazie mille!
Non possono essere di meno 
Nell'intersezione ci stanno certamente i punti doppi (sono in $C^n$ per ipotesi e in $C^{n-2}$ per costruzione) e quelli semplici che hai scelto su $C^{n}$ (e quindi vi appartengono) e che, per costruzione, sono in $C^{n-2}$.
Si è accesa la lampadina?
Nell'intersezione ci stanno certamente i punti doppi (sono in $C^n$ per ipotesi e in $C^{n-2}$ per costruzione) e quelli semplici che hai scelto su $C^{n}$ (e quindi vi appartengono) e che, per costruzione, sono in $C^{n-2}$.
Si è accesa la lampadina?
Hai ovviamente ragione! Lampadina accesa (tra l'altro la faccina è fichissima!)...
Devo comprarmi un ventilatore, inutile! Grazie mille Cirasa mi hai tolto un grande dubbio!
Lampadina accesa (tra l'altro la faccina è fichissima!)...Devo comprarmi un ventilatore, inutile! Grazie mille Cirasa mi hai tolto un grande dubbio!
Prego Mistake 
Puoi provare con un ventilatore USB, sarà il mio prossimo acquisto!
Puoi provare con un ventilatore USB, sarà il mio prossimo acquisto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo