Curve principali

[MaryMary1]

Buongiorno a tutti,
ho un po' di confusione su un concetto di geometria differenziale: le curve principali del piano.
Il prof a lezione ci ha detto che tutte le curve del piano sono principali, ma io so che in un piano tutti i punti sono ombellicali, cioè che le curvature principali coincidono e valgono 0 , ma questa è anche la definizione di punto planare e so che in un punto planare tutte le direzioni sono asintotiche. Quindi perchè in un piano tutte le curve sono principali? Non dovrebbero essere asintotiche?
Grazie mille a chi mi toglierà questo dubbio forse anche stupido.

[Pigreco2016]

Una curva nel piano è principale e anche asintotica. Sotto questo punto di vista il piano è una superficie notevole.

[MaryMary1]

Quindi non era errato il mio ragionamento. Ma come posso provarlo? ti ringrazio

[Pigreco2016]

È molto semplice perché tutto discende dalle definizioni che si hanno di curva asintotica e curva principale. Una curva su una siperficie è asintotica quando la curvatura normale della superficie calcolata lungo la curva è sempre nulla (da qua si ricava che la seconda forma fondamentale calcolata lungo la curva deve essere nulla e qua abbiamo concluso perché per il piano essa è sempre nulla a prescindere dal punto in cui la si calcola). Mentre per le curve principali dovresti sapere cosa è l'operatore di forma (endomorfismo simmetrico) e la sua matrice associata rispetto alla base di vettori dello spazio tangente alla superficie. Le curve principali su una superficie sono quelle curve che hanno come vettore velocità proprio gli autovettori relativi all'operatore di forma. Ma sai anche che rispetto ad una qualsiasi base l'operatore di forma è costante (la sua matrice associata a prescindere dal punto in cui la calcoli è sempre la matrice nulla) (siamo sempre nel piano) e quindi tutti i vettori contenuti nel piano sono principali.

[Pigreco2016]

Fai attenzione al punto di partenza e di arrivo del mio ragionamento. Io non ho provato che una curva nel piano se è asintotica allora è anche principale o viceversa. Ho solo mostrato che per le curve del piano tutte le curve rispettano la definizione di curva asintotica e poi di curva principale. Quindi sono due cose seperate e non necessariamente collegate. Non è necessario poi parlare di ombelichi in questo caso. Si tratta solo di mostrare che valgono le definizioni per la superficie in esame. Chiaro?

[MaryMary1]

ti ringrazio infinitamente! E' tutto chiarissimo!