Curve piane e punti singolari
Si consideri la curva algebrica piana $y^2=x^4+1$. Dimostrare che è liscia sul piano affine e che il suo completamento proiettivo ha un punto singolare all'infinito. Disegnare approssimativamente la curva in un intorno del suo punto singolare.
Per dimostrare che è liscia sul piano affine ho calcolato le derivate parziali della curva rispetto ad x e ad y e le ho poste uguali a zero. Ho messo a sistema queste due equazioni con l'equazione della curva e ho ottenuto che il sistema non ha soluzioni reali e di conseguenza la curva non ha punti singolari sul piano affine.
Per trovare il punto singolare all'infinito ho calcolato la derivata parziale della curva rispetto ad x, y, z e le ho poste uguali a zero (la curva omogeneizzata è infatti $y^2z^2=x^4+z^4$). In questo modo ho trovato che (0,0,0) è un punto all'infinito. Ma (0,0,0) non è un punto del piano proiettivo.... Dove sta il mio errore?
E come faccio a disegnare approssimativamente la curva in un intorno del punto singolare?
Per dimostrare che è liscia sul piano affine ho calcolato le derivate parziali della curva rispetto ad x e ad y e le ho poste uguali a zero. Ho messo a sistema queste due equazioni con l'equazione della curva e ho ottenuto che il sistema non ha soluzioni reali e di conseguenza la curva non ha punti singolari sul piano affine.
Per trovare il punto singolare all'infinito ho calcolato la derivata parziale della curva rispetto ad x, y, z e le ho poste uguali a zero (la curva omogeneizzata è infatti $y^2z^2=x^4+z^4$). In questo modo ho trovato che (0,0,0) è un punto all'infinito. Ma (0,0,0) non è un punto del piano proiettivo.... Dove sta il mio errore?
E come faccio a disegnare approssimativamente la curva in un intorno del punto singolare?
Risposte
Non é per caso che l'equazione della curva è $y^2=x^4+1$ e non $y^4=x^4+1$ come hai scritto te?
Sì, è l'unica maniera in cui l'omogeneizzazione della curva sia quella che ha scritto l'OP. Si vede ad occhio che il punto all'infinito $[1:0:0]$ (o $[0:0:1]$, dipende da dove omogeneizzi) è effettivamente singolare, hai sbagliato a risolvere il sistema delle derivate parziali 
Sì, avevo scritto male il testo, grazie! E avevo fatto un errore nella risoluzione del sistema. Rifacendolo ho ottenuto il punto (0,1,0), oltre allo (0,0,0) che quindi scarto.
Venendo all'ultima domanda, per studiare approssimativamente la funzione nell'intorno basta controllare se è un flesso, se la funzione è continua nell'intorno, crescente, decrescente? È sufficiente fare così?
Grazie mille ad entrambi.
Venendo all'ultima domanda, per studiare approssimativamente la funzione nell'intorno basta controllare se è un flesso, se la funzione è continua nell'intorno, crescente, decrescente? È sufficiente fare così?
Grazie mille ad entrambi.
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