Curve Piane e parametrizzazioni
Salve a tutti!! Mi sono arenato su di un problema di geometria sulle curve, magari riuscite a smuovere qualcosa all'interno del mio cervello che a quanto pare non reagisce 
Allora, si consideri una parametrizzazione $\sigma(t)$ di una curva regolare. Se la curva è biregolare, si dimostri che è piana $hArr \sigma'(t), \sigma''(t), \sigma'''(t)$ sono linearmente dipendenti in ogni punto.
Questa è la seconda parte dell'esercizio, nella prima ho dimostrato che la curva è una retta $hArr \sigma'(t), \sigma''(t)$ sono linearmente dipendenti, e fino a lì non ho avuto moltissimi problemi.
La strada che cercavo di percorrere per risolvere questo punto è questa:
So che una curva è piana $hArr$ la torsione $\tau=0$, ovvero se il versore binormale è costante. Ho anche, per ipotesi, che la parametrizzazione è biregolare, quindi che $k(t)=\sigma''(t)!=0$ e che $n(t)=k(t)/|k|$. Per il fatto poi che la curva è regolare, anche $\sigma'(t)!=0$.
A questo punto mi blocco...non riesco a capire in che modo riuscire ad arrivare alla conclusione, sia per quanto riguarda la necessaria, che per la sufficiente...qualcuno di voi ha qualche suggerimento per sbloccarmi? O magari qualche correzione di qualche assurdità che ho detto?
Grazie in anticipo per l'aiuto!!!
Allora, si consideri una parametrizzazione $\sigma(t)$ di una curva regolare. Se la curva è biregolare, si dimostri che è piana $hArr \sigma'(t), \sigma''(t), \sigma'''(t)$ sono linearmente dipendenti in ogni punto.
Questa è la seconda parte dell'esercizio, nella prima ho dimostrato che la curva è una retta $hArr \sigma'(t), \sigma''(t)$ sono linearmente dipendenti, e fino a lì non ho avuto moltissimi problemi.
La strada che cercavo di percorrere per risolvere questo punto è questa:
So che una curva è piana $hArr$ la torsione $\tau=0$, ovvero se il versore binormale è costante. Ho anche, per ipotesi, che la parametrizzazione è biregolare, quindi che $k(t)=\sigma''(t)!=0$ e che $n(t)=k(t)/|k|$. Per il fatto poi che la curva è regolare, anche $\sigma'(t)!=0$.
A questo punto mi blocco...non riesco a capire in che modo riuscire ad arrivare alla conclusione, sia per quanto riguarda la necessaria, che per la sufficiente...qualcuno di voi ha qualche suggerimento per sbloccarmi? O magari qualche correzione di qualche assurdità che ho detto?
Grazie in anticipo per l'aiuto!!!
Risposte
essendo regolare puoi supporla parametrizzata per ascissa curvilinea.
qualche perplessità...
una cosa non mi torna... se $dot{\sigma}$ e $\ddot{\sigma}$ devono essere linearmente dipendenti, allora $b=t\wedge n=\dot{\sigma}\wedge\frac{\ddot{sigma}}{|\ddot{sigma}|}=\frac{1}{|\ddot{sigma}|}[\dot{\sigma}\wedge\ddot{sigma}]=0$... e non semplicemente costante!
inoltre derivata prima e seconda sono perpendicolari tra loro in una curva biregolare parametrizzata per ascissa curvilinea.
Se una curva è retta, potrai scriverla come $sigma(t)=p+tv$, ovvero con derivata seconda zero e quindi non biregolare. In accordo comunque con quello svolto nel primo esercizio da te (e ci sono infiniti piani che contengono questa retta).
inoltre se $\sigma$ sta in un piano, esso è quello oscularore, ovvero quello dato dall'equazione ${\sigma(0)+\lambda\t(0)+\mu\n(0)|\lambda,mu\in RR}$, ma se i due vettori sono l.d. questo non è un piano...
spero di non aver detto scemenze (nel caso mi scuso in anticipo)
siamo ancora in vacanza
qualche perplessità...
una cosa non mi torna... se $dot{\sigma}$ e $\ddot{\sigma}$ devono essere linearmente dipendenti, allora $b=t\wedge n=\dot{\sigma}\wedge\frac{\ddot{sigma}}{|\ddot{sigma}|}=\frac{1}{|\ddot{sigma}|}[\dot{\sigma}\wedge\ddot{sigma}]=0$... e non semplicemente costante!
inoltre derivata prima e seconda sono perpendicolari tra loro in una curva biregolare parametrizzata per ascissa curvilinea.
Se una curva è retta, potrai scriverla come $sigma(t)=p+tv$, ovvero con derivata seconda zero e quindi non biregolare. In accordo comunque con quello svolto nel primo esercizio da te (e ci sono infiniti piani che contengono questa retta).
inoltre se $\sigma$ sta in un piano, esso è quello oscularore, ovvero quello dato dall'equazione ${\sigma(0)+\lambda\t(0)+\mu\n(0)|\lambda,mu\in RR}$, ma se i due vettori sono l.d. questo non è un piano...
spero di non aver detto scemenze (nel caso mi scuso in anticipo)
siamo ancora in vacanza
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