Curve integrali, buone, fragranti, nutrienti
Buona sera. L'esercizio chiede di calcolare le curve integrali del seguente campo vettoriale
\[
X = ay\frac{d}{dx}+bx\frac{d}{dy}
\]
nel caso in cui \(ab<0\).
Essere una curva integrale significa che per ogni \(t\) si abbia \(X_{\phi(t)}=\dot{\phi}(t)\), e quindi ci ritroviamo a risolvere il sistema (1)
\[
\begin{cases}
\dot{x}=ay\\
\dot{y}=bx
\end{cases}
\]
Derivando si disaccoppiano le equazioni, ottenendo
\[
\begin{cases}
\ddot{x}=abx\\
\ddot{y}=aby
\end{cases}
\]
Cercando delle soluzioni del tipo $e^{i\omega t}$ trovo $\omega=\sqrt(-ab)$, pertanto si possono cercare soluzioni del tipo (1')
\[
\begin{cases}
x = A^x \cos \omega t+B^x \sin\omega t\\
y = A^y \cos \omega t+B^y \sin\omega t
\end{cases}
\]
Imponendo \(t=0\) si trovano \(A^x = x^0,\,B^x=x^0\). Rimangono da trovare le \(B\). La mia idea è usare le equazioni del sistema 1. Derivando rispetto al tempo la 1' ottengo
\[
\dot x = -A^x \omega\sin\omega t +\omega B_x\cos\omega t
\]
da uguagliare per la (1)
\[
ay = a(A^y \cos \omega t+B^y \sin\omega t)
\]
Essendo coseni e seni indipendenti, questo implicherebbe che \(\omega B_x = a A^y\), ovvero \(B_x =\frac{ay^0}{\omega}\).
Il mio professore invece troverebbe \(B_x = -\frac{y_0}{b}\). Dove ho sbagliato?
\[
X = ay\frac{d}{dx}+bx\frac{d}{dy}
\]
nel caso in cui \(ab<0\).
Essere una curva integrale significa che per ogni \(t\) si abbia \(X_{\phi(t)}=\dot{\phi}(t)\), e quindi ci ritroviamo a risolvere il sistema (1)
\[
\begin{cases}
\dot{x}=ay\\
\dot{y}=bx
\end{cases}
\]
Derivando si disaccoppiano le equazioni, ottenendo
\[
\begin{cases}
\ddot{x}=abx\\
\ddot{y}=aby
\end{cases}
\]
Cercando delle soluzioni del tipo $e^{i\omega t}$ trovo $\omega=\sqrt(-ab)$, pertanto si possono cercare soluzioni del tipo (1')
\[
\begin{cases}
x = A^x \cos \omega t+B^x \sin\omega t\\
y = A^y \cos \omega t+B^y \sin\omega t
\end{cases}
\]
Imponendo \(t=0\) si trovano \(A^x = x^0,\,B^x=x^0\). Rimangono da trovare le \(B\). La mia idea è usare le equazioni del sistema 1. Derivando rispetto al tempo la 1' ottengo
\[
\dot x = -A^x \omega\sin\omega t +\omega B_x\cos\omega t
\]
da uguagliare per la (1)
\[
ay = a(A^y \cos \omega t+B^y \sin\omega t)
\]
Essendo coseni e seni indipendenti, questo implicherebbe che \(\omega B_x = a A^y\), ovvero \(B_x =\frac{ay^0}{\omega}\).
Il mio professore invece troverebbe \(B_x = -\frac{y_0}{b}\). Dove ho sbagliato?
Risposte
...come mai tutti questi esponenziali? @_@
Non ci sono esponenziali.....
dove ho sbagliato il conto?
dove ho sbagliato il conto?
Non stai semplicemente cercando \(e^{tA}\) dove $A$ è la matrice \(\left(\begin{smallmatrix}
0 & a \\
b & 0
\end{smallmatrix}\right)\)? In tal caso bisogna solo fare un conto e verranno dei co/seni iperbolici in \(\sqrt{ab}\).
0 & a \\
b & 0
\end{smallmatrix}\right)\)? In tal caso bisogna solo fare un conto e verranno dei co/seni iperbolici in \(\sqrt{ab}\).
Non sono ancora arrivato a tali strumenti...
Il procedimento che bisogna seguire è quello che ho provato a eseguire, vi chiedevo se nella mia risoluzione e/o nel mio ragionamento ci fossero errori di conto. Fate conto che lo scopo dell'esercizio sia di risolvere il sistema (1)
Il procedimento che bisogna seguire è quello che ho provato a eseguire, vi chiedevo se nella mia risoluzione e/o nel mio ragionamento ci fossero errori di conto. Fate conto che lo scopo dell'esercizio sia di risolvere il sistema (1)
Eh, ma la soluzione del sistema 1 è proprio l'esponenziale di una matrice, la quale funzione solitamente viene introdotta al semplice scopo di risolvere questi sistemi di ODE lineari in più variabili.
In realtà ho bisogno di capire solo in che modo ottenere il valore delle costanti $A^x, B^x, A^y, B^y$. Concettualmente è giusto quello che ho fatto? Cioè ho confrontato
$$\dot x = ay$$
Solo che cosi facendo ottengo per la costante $A^y$ un valore diverso...mi chiedevo se ci fosse un errore di conto
$$\dot x = ay$$
Solo che cosi facendo ottengo per la costante $A^y$ un valore diverso...mi chiedevo se ci fosse un errore di conto
Up
Scusate, ma i conti continuano a non tornarmi, per cui mi permetto di uppare.
Il sistema da risolvere è (*)
$\dot x = ay$
$\dot y = bx$
Le soluzioni sono della forma
$$x(t)=A^x \cos\omega t + B^x\sin\omega t$$
$$y(t)=A^y \cos\omega t + B^y\sin\omega t$$
con $\omega = \sqrt{-ab}$.
Il mio scopo è trovare il valore di quelle costanti di integrazione. La mia idea era usare le due equazioni (*). Per esempio dalla prima
$$\dot x = -A^x\omega\sin\omega t+B^x\omega\cos\omega t$$
$$ay = aA^y \cos\omega t + aB^y\sin\omega t$$
Uguagliando le due,
$$\omega B_x = a A^y\Rightarrow B^x = \frac{a A^y}{\omega}=\frac{a A^y}{\sqrt{-ab}}$$
Per il mio professore sarebbe $$B^x = -y^0/b$$
Si vede facilmente che $y^0 = A^y$. Dov'è che ho sbagliato?
Il sistema da risolvere è (*)
$\dot x = ay$
$\dot y = bx$
Le soluzioni sono della forma
$$x(t)=A^x \cos\omega t + B^x\sin\omega t$$
$$y(t)=A^y \cos\omega t + B^y\sin\omega t$$
con $\omega = \sqrt{-ab}$.
Il mio scopo è trovare il valore di quelle costanti di integrazione. La mia idea era usare le due equazioni (*). Per esempio dalla prima
$$\dot x = -A^x\omega\sin\omega t+B^x\omega\cos\omega t$$
$$ay = aA^y \cos\omega t + aB^y\sin\omega t$$
Uguagliando le due,
$$\omega B_x = a A^y\Rightarrow B^x = \frac{a A^y}{\omega}=\frac{a A^y}{\sqrt{-ab}}$$
Per il mio professore sarebbe $$B^x = -y^0/b$$
Si vede facilmente che $y^0 = A^y$. Dov'è che ho sbagliato?
Avevo controllato velocemente, mi sembra che hai ragione tu, non il professore.
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