Curve implicitamente definite
Buongiorno, ho un problema con una dimostrazione:
Sia U un sottoinsieme di $EE_3$ definito dal sistema $f(x,y,z,)=0$ e $g(x,y,z,)=0$di classe $C^r$. Indico con $z_(f,g)$ l'insieme degli zeri del sistema e, presa la matrice Jacobiana, indico con G il vettore dei minori di ordine 2 della matrice. A questo punto devo dimostrare che se $G\neq0$ nei punti di $z_f$ allora questa e' una curva di classe $C^r$
Dimostrazione:
Suppongo di avere $(x_0,y_0,z_0)\in z_f$ tale che non e' nulla la prima entrata del vettore G.
Ora applico il teorema della funzione implicita e qui trovo problemi, non capisco come viene applicato. Il mio professore, prende $\varepsilon>0$ tale che esistono a,b due funzioni di classe $C^r$ definite da $z_0-\varepsilon, z_0+\varepsilon$ in $RR$ tale che $(a(z),b(z),z)\in z_f$ per ogni z nell'intorno. E cosi e' conclusa la dimostrazione.
Perche' il teorema, applicato in quel modo, mi garantisce che e' una curva? Potete darmi qualche spiegazione in piu'?
Sia U un sottoinsieme di $EE_3$ definito dal sistema $f(x,y,z,)=0$ e $g(x,y,z,)=0$di classe $C^r$. Indico con $z_(f,g)$ l'insieme degli zeri del sistema e, presa la matrice Jacobiana, indico con G il vettore dei minori di ordine 2 della matrice. A questo punto devo dimostrare che se $G\neq0$ nei punti di $z_f$ allora questa e' una curva di classe $C^r$
Dimostrazione:
Suppongo di avere $(x_0,y_0,z_0)\in z_f$ tale che non e' nulla la prima entrata del vettore G.
Ora applico il teorema della funzione implicita e qui trovo problemi, non capisco come viene applicato. Il mio professore, prende $\varepsilon>0$ tale che esistono a,b due funzioni di classe $C^r$ definite da $z_0-\varepsilon, z_0+\varepsilon$ in $RR$ tale che $(a(z),b(z),z)\in z_f$ per ogni z nell'intorno. E cosi e' conclusa la dimostrazione.
Perche' il teorema, applicato in quel modo, mi garantisce che e' una curva? Potete darmi qualche spiegazione in piu'?
Risposte
Perché hai una funzione \( z \mapsto (a(z), b(z), z) \) di classe \(C^r\).
Si ma quello che non capisco è proprio come viene utilizzato il teorema. Dalle ipotesi del teorema io dovrei considerare un'unica funzione a che va da V in R con V intorno di $(x_0,y_0)$. Perché considera due funzioni in un intorno di $z_0$?
Riguardati la teoria. Il teorema dice che c'è una funzione che va (in questo caso) da \(\mathbb R\) a \(V\) esattamente come usato dal tuo professore. Stai confondendo il teorema?
Se non erro il teorema afferma che:
Data $f:U->RR^n$ di classe $C^1$ con U contenuto in $RR^(n+m)$, vi sono due aperti A e B con il primo che è in $RR^(n+m)$ e il secondo in $RR^(m)$ e tale che preso $(x_0,y_0)\inAxB$ tale che $f(x_0,y_0)=0$ e lo jacobiano non si annulla, per ogni $y\inB$ esiste un unico x tale che definita $g:B->RR^n$ g(y)=x e quindi la funzione g viene implicitamente definita da $f(g(y),y)=0$.
Adesso io sono in $RR^3$. Prendo $(x_0,y_0,z_0)$ con la proprietà descritta sopra. A sta in $RR^3$ e B sta in $RR$. La funzione g:B ( anche esprimibile come intorno di $z_0$) ad $RR^2$. Quindi io ho una sola funzione implicitamente definita, non due come lui
Data $f:U->RR^n$ di classe $C^1$ con U contenuto in $RR^(n+m)$, vi sono due aperti A e B con il primo che è in $RR^(n+m)$ e il secondo in $RR^(m)$ e tale che preso $(x_0,y_0)\inAxB$ tale che $f(x_0,y_0)=0$ e lo jacobiano non si annulla, per ogni $y\inB$ esiste un unico x tale che definita $g:B->RR^n$ g(y)=x e quindi la funzione g viene implicitamente definita da $f(g(y),y)=0$.
Adesso io sono in $RR^3$. Prendo $(x_0,y_0,z_0)$ con la proprietà descritta sopra. A sta in $RR^3$ e B sta in $RR$. La funzione g:B ( anche esprimibile come intorno di $z_0$) ad $RR^2$. Quindi io ho una sola funzione implicitamente definita, non due come lui
Essendomi occupato di cose non inerenti negli ultimi anni non sono sicuro dei dettagli del teorema, ma dal tuo testo mi sembra evidente che \(A\) debba essere in \(\mathbb R^n\) in quanto deve essere \(A \times B \subset U \subset R^{n+m}\) e \(B \subset \mathbb R^m\).
Nel tuo caso hai \(n = 2\) e \(m = 1\). Quindi avresti che \(A \subset \mathbb R^2\) e
\[ \begin{align*}
g\;\colon\;&B \subset \mathbb R \to A \subset \mathbb R^2 \\ &z \mapsto g(z) = \bigl(a(z), b(z)\bigr)
\end{align*}\]
tale che \(f(g(z), z) = 0\). Le due funzioni escono fuori dal fatto che ogni funzione può essere scritta nelle sue componenti..
Nel tuo caso hai \(n = 2\) e \(m = 1\). Quindi avresti che \(A \subset \mathbb R^2\) e
\[ \begin{align*}
g\;\colon\;&B \subset \mathbb R \to A \subset \mathbb R^2 \\ &z \mapsto g(z) = \bigl(a(z), b(z)\bigr)
\end{align*}\]
tale che \(f(g(z), z) = 0\). Le due funzioni escono fuori dal fatto che ogni funzione può essere scritta nelle sue componenti..
"apatriarca":
Essendomi occupato di cose non inerenti negli ultimi anni non sono sicuro dei dettagli del teorema, ma dal tuo testo mi sembra evidente che \(A\) debba essere in \(\mathbb R^n\) in quanto deve essere \(A \times B \subset U \subset R^{n+m}\) e \(B \subset \mathbb R^m\).
Nel tuo caso hai \(n = 2\) e \(m = 1\). Quindi avresti che \(A \subset \mathbb R^2\) e
\[ \begin{align*}
g\;\colon\;&B \subset \mathbb R \to A \subset \mathbb R^2 \\ &z \mapsto g(z) = \bigl(a(z), b(z)\bigr)
\end{align*}\]
tale che \(f(g(z), z) = 0\). Le due funzioni escono fuori dal fatto che ogni funzione può essere scritta nelle sue componenti..
Si, hai ragione, ora e' chiaro. Grazie
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