Curve geodetiche

[plutopuzza]

come si dimostra che se la curvatura geodetica è nulla allora la traiettoria in questione è la più breve possibile tra due punti di una superficie?

[ViciousGoblin]

"plutopuzza":come si dimostra che se la curvatura geodetica è nulla allora la traiettoria in questione è la più breve possibile tra due punti di una superficie?

Non so so se sia vero: prendi due punti sull'equatore che non siano antipodali; entrambi gli archi di equatore staccati dai due punti verificano l'ipotesi sulla curvatura (se ricordo la definizione) ma uno dei due è più lungo dell'altro. Da quanto ricordo la proprietà dovrebbe essere che data una goedetica e presi due punti su di essa "abbastanza vicini", allora il tratto
di geodetica che li congiunge è la curva di minima distanza. La dim. non deve essere ovvia : quale definizione di geodetica hai?

[plutopuzza]

la mia definizione è: una curva geodetica è una curva in cui la curvatura geodetica è nulla cioè $ (dT)/(ds)= k N + g N T $ con T versore velocità , N versore normale alla superficie, k curvatura curva e g curvatura geodetica.
quindi nn sai la dimostrazione? cè qlc che la conosce?[/spoiler]

[maurer]

Lo sto studiando proprio in questi giorni, ma ha ragione ViciousGoblin, detta così è falsa.

Piuttosto vale il seguente

Teorema (Proprietà di Minimizzazione). Se [tex]M[/tex] è una superficie e [tex]\sigma : [a,b] \to M[/tex] è una curva che realizza la distanza minima tra [tex]\sigma(a)[/tex] e [tex]\sigma(b)[/tex] allora è una geodetica.

Ma... la dimostrazione è veramente lunghetta e si basa sul Lemma di Gauss, altro risultato assolutamente non banale (più una caterva di definizioni e risultati preliminari per introdurre i concetti di cui abbiamo bisogno). Ergo, non mi metto di certo a riportarla sul forum, mi ci andrebbe una giornata!

[maurer]

Naturalmente vale anche la proposizione riportata da ViciousGoblin. Anzi, è proprio il punto chiave per la dimostrazione del teorema precedente.

[plutopuzza]

ok...grazie cmq