Curve euclidee: simmetria
Ciao, mi potreste aiutare con questo passaggio di "teoria"?
Il libro sta introducendo alcuni concetti sulle curve algebriche. Sulla simmetria di una curva euclidea C rispetto a una retta
$ aX + bY = 0 $ :
dice: "normalizzando quest'equazione in modo che si abbia $ a^2 + b^2 = 1 $ , la simmetria T è data dal cambiamento di variabili
$ X = (1 - 2a^2)X' - 2abY' $
$ Y = - 2abX' + (1-2b^2)Y' $
Se C ha equazione f(X, Y) = 0, la simmetria di C rispetto a r si esprime con la condizione che
$ f((1 - 2a^2)X' - 2abY' , - 2abX' + (1-2b^2)Y' )) = 0 $
Che significa "normalizzando quest'equazione"? Serve per ottenere un'espressione più semplice alla fine? Cioè, si prende una retta particolare, che semplifichi le cose, perché le rette sono tutte affinemente equivalenti, ed è su questo fatto che si basa quello che sarà detto in seguito sulla classificazione?
Un'altra cosa: i calcoli mi vengono con le variabili scambiate (la x con la x'...). Avrei fatto:
$ r: ax + by = 0 $ , di direzione $ (1, -a/b) $
$ P(x, y) $ punto generico di $ E^2 $
$ H(x_H, - a/b x_H) $ punto generico di r.
$ P'(x', y') $ simmetrico di P rispetto a r
Per trovare P':
$ HP = (x - x_H; y + a / b x_H) $
$ HP $ è ortogonale a $ r $ se è zero il prodotto scalare:
$ <(x - x_H; y + a / b x_H), (1, -a/b)> $
ecc. ecc.
$ x' = (1 - 2a^2)x - 2aby $
$ y' = .....
Invece deve essere il contrario, con la x al posto di x'.... ma non trovo l'inghippo....
Grazie, ciao
Il libro sta introducendo alcuni concetti sulle curve algebriche. Sulla simmetria di una curva euclidea C rispetto a una retta
$ aX + bY = 0 $ :
dice: "normalizzando quest'equazione in modo che si abbia $ a^2 + b^2 = 1 $ , la simmetria T è data dal cambiamento di variabili
$ X = (1 - 2a^2)X' - 2abY' $
$ Y = - 2abX' + (1-2b^2)Y' $
Se C ha equazione f(X, Y) = 0, la simmetria di C rispetto a r si esprime con la condizione che
$ f((1 - 2a^2)X' - 2abY' , - 2abX' + (1-2b^2)Y' )) = 0 $
Che significa "normalizzando quest'equazione"? Serve per ottenere un'espressione più semplice alla fine? Cioè, si prende una retta particolare, che semplifichi le cose, perché le rette sono tutte affinemente equivalenti, ed è su questo fatto che si basa quello che sarà detto in seguito sulla classificazione?
Un'altra cosa: i calcoli mi vengono con le variabili scambiate (la x con la x'...). Avrei fatto:
$ r: ax + by = 0 $ , di direzione $ (1, -a/b) $
$ P(x, y) $ punto generico di $ E^2 $
$ H(x_H, - a/b x_H) $ punto generico di r.
$ P'(x', y') $ simmetrico di P rispetto a r
Per trovare P':
$ HP = (x - x_H; y + a / b x_H) $
$ HP $ è ortogonale a $ r $ se è zero il prodotto scalare:
$ <(x - x_H; y + a / b x_H), (1, -a/b)> $
ecc. ecc.
$ x' = (1 - 2a^2)x - 2aby $
$ y' = .....
Invece deve essere il contrario, con la x al posto di x'.... ma non trovo l'inghippo....
Grazie, ciao
Risposte
Non viene presa una retta in particolare.
La retta rimane generica ma essendo assegnata in forma implicita esistono infinite equazioni che la rappresentano.
2x+3y=0 10x+15y=0 ... rappresentano la stessa retta
Posso scegliere allora l'equazione nella quale i coefficienti soddisfano una particolare condizione.
Per quanto riguarda il secondo punto trovo più semplice considerare il seguente sistema per determinare l'equazione della trasformazione:
a((x+x')/2)+b((y+y')/2)=0 in quanto il punto medio del segmento PP' deve appartenere alla retta
(y-y')/(x-x')=b/a in quanto il segmento PP' è perpendicolare alla retta
Tra l'altro in questa forma appare evidente come le due equazioni non cambino scambiando x con x' e y con y'.
Cosa vuol dire questo? Vuol dire che esplicitando x e y in funzione di x' e y' si ottengono le stesse identiche formule che si otterrebbero
esplicitando x' e y' in funzione di x e y. Questo vale anche nel tuo caso naturalmente, anche se meno evidente. Puoi provare per credere.
La retta rimane generica ma essendo assegnata in forma implicita esistono infinite equazioni che la rappresentano.
2x+3y=0 10x+15y=0 ... rappresentano la stessa retta
Posso scegliere allora l'equazione nella quale i coefficienti soddisfano una particolare condizione.
Per quanto riguarda il secondo punto trovo più semplice considerare il seguente sistema per determinare l'equazione della trasformazione:
a((x+x')/2)+b((y+y')/2)=0 in quanto il punto medio del segmento PP' deve appartenere alla retta
(y-y')/(x-x')=b/a in quanto il segmento PP' è perpendicolare alla retta
Tra l'altro in questa forma appare evidente come le due equazioni non cambino scambiando x con x' e y con y'.
Cosa vuol dire questo? Vuol dire che esplicitando x e y in funzione di x' e y' si ottengono le stesse identiche formule che si otterrebbero
esplicitando x' e y' in funzione di x e y. Questo vale anche nel tuo caso naturalmente, anche se meno evidente. Puoi provare per credere.
Sei stato proprio chiarissimo Speculor, grazie 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo