Curve ellittiche

[Dinah1]

io so che una curva ellittica è una superficie di riemann di genere 1.
La mia domanda è:
poichè il genere di una sup di Riemann indica il suo numero di buchi, allora una curva ellittica è un toro?
Quindi se la risposta è si posso affermare che una curva ellittica è una sup di riemann il cui rivestimento universale è il piano complesso? (questa affermazione seguirebbe dal fatto che tutte le sup di riemann il cui rivestimento universale è il piano complesso sono i quozienti del piano complesso con il gruppo generato da una o due traslazioni)

[miuemia]

si

[maurer]

Andando più nel dettaglio, puoi capire bene perché un toro è una curva ellittica usando la funzione [tex]\wp[/tex] di Weiestrass associata ad un reticolo. Questa produce un embedding di [tex]\phi \colon C / \Lambda \to \mathbb P^2_\mathbb{C}[/tex] e soddisfa ad un'equazione differenziale che consente di vedere come l'immagine di [tex]\phi[/tex] soddisfi precisamente un'equazione del tipo [tex]y^2 = x^3 - g_2 x - g_3[/tex] con [tex]g_2,g_3[/tex] opportune costanti legate a [tex]\Lambda[/tex] (faccio anche notare che il lemma di Chow assicura a priori l'esistenza di equazioni per l'immagine di [tex]\phi[/tex], il che è sempre sconvolgente ogni volta che ci penso..)

[Dinah1]

C'è un altro modo per mostrarlo che non consideri la P di Weierstrass? Che cos'è un embedding?

[maurer]

Al meglio delle mie conoscenze, no.

Un embedding, in questo contesto è una funzione biolomorfa sull'immagine. Si può dimostrare che se la varietà di partenza è compatta (o più generalmente se la mappa è propria) allora è sufficiente che la mappa sia olomorfa, iniettiva e con rango massimo in ogni punto, per dar luogo ad un embedding.